Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 3



Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 3 – Matematica


Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Problema 2 della Maturità Scientifica 2017 – Quesito 3

Consideriamo la funzione f : R → R , periodica di periodo T=4 il cui grafico, nell’intervallo [0;4], è il seguente:

Figura 1 Problema 2 Quesito 1 Maturità Scientifica 2017

Figura 1 Problema 2 Quesito 3  Maturità Scientifica 2017

Come si evince dalla Figura 1, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate:

O(0; 0), B(1; 1), D(3; −1), E(4; 0).

Quesito 3:  Considerando ora le funzioni: f2(x) e s2(x), discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.

Svolgimento:

Questo quesito richiede di riprendere il precedente e di elevare al quadrato le funzioni:

f(x) = x
s(x)=sen(½πx) ottenendo cosi:
f2(x)=x2
s2(x)=sen2(½πx)
.

Tre parti Quadrato Problema 2 Quesito 2 Maturità Scientifica 2017

Le tre parti in cui era suddiviso il quadrato del Problema 2 Quesito 2 Maturità Scientifica 2017

In pratica si ottiene una parabola, con vertice in O e un seno al quadrato. Per quanto riguarda la parabola, essa passa sia per O che per B, ma sotto la diagonale del quadrato, in quanto si tratta di valori di x tutti positivi e inferiori a 1, valori che elevati al quadrato, diventano ancora più piccoli; ad esempio il quadrato di 0,5 è 0,25 e cosi via… Si può subito dire che l’area A3 è diminuita (e quindi anche la probabilità P3(A3)). Per quanto riguarda il seno al quadrato, i valori del seno variano anch’essi tra 0 e 1, per cui al quadrato la funzione sarà “sotto” il grafico del seno originale, pur passando sempre per O e B. Questo significa che A1 e P1(A1) saranno cresciute.

Le tre parti Quadrato Problema 2 Quesito 3 Maturità Scientifica 2017

Le tre nuove parti in cui è suddiviso il quadrato del Problema 2 Quesito 3 Maturità Scientifica 2017 (grafico qualitativo)

Resta da chiarire cose succede all’area A2 e a P2(A2). Poichè non riusciamo a fare un ragionamento qualitativo, si passa al ragionamento analitico, calcolando A2=Asenq – A3; che ci confermerà anche quanto affermato in precedenza.

A2= Asenq – A3
            1                                  1
A3= ∫  x2 dx = [x3/3] = 1/3 =0,333
         0                                    0

quindi A3 è diminuita (prima era: 0,500).

               1                       
Asenq= ∫  sen2(½πx) dx  
             0          

ricordando che:

sen2(α/2)   = (1 – cos α)/2 →
sen2((πx)/2)   = (1 – cos(πx))/2

              1                       
Asenq= ∫ (1 – cos(πx))/2 dx  =
           0          

        1               1                           
=½ ∫ dx – ½ ∫cos(πx)) dx  =
      0                0     

              1                                1                           
=½[ x] – ½ [sen(πx))]/π =
         0                               0     

=½ – ½(0/π) = 0,500

quindi:

A2= 0,500 – 0,333 = 0,167

A2 quindi è aumentata (prima era 0,137).

Infine A1, per differenza è

A1=Aq-A2-A3
A1=1,000-0,333 – 0,167=0,500

A1 è quindi aumentata (prima era:0,363)

Le nuove probabilità quindi sono:

P1(A1)=0,500
P2(A2)=0,167
P3(A3)=0,333

Grafici Funzioni al quadrato Problema 2 Quesito 3 Maturità Scientifica 2017

Grafici delle Funzioni al Quadrato del Problema 2 Quesito 3 Maturità Scientifica 2017: in blu la parabola, in verde la bisettrice, in rosso il seno al quadrato.


Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.

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