Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 7
Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 7 – Matematica
Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.
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Traccia del Quesito 7 del Questionario Maturità Scientifica 2017
Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio √6 tangenti al piano π di equazione x+ 2y−z+1= 0 nel suo punto P di coordinate (1; 0; 2).
Svolgimento:
Questo settimo quesito del questionario della maturità scientifica 2017 richiede di nuovo conoscenze base di geometria nello spazio. In particolare ci serviranno l’equazione del piano e della sfera, nonché l’applicazione delle condizioni di tangenza sfera piano.
Il piano π di equazione x+ 2y−z+1= 0 ha vettore normale n(1,2,-1). Il raggio delle due sfere tangenti, una per lato, è parallello a n e deve passare per P(1; 0; 2); anzi i raggi delle due sfere cercate è un segmento della retta passante per P e che ha direzione n.
Scriviamo quindi l’equazione di questa retta. In generale dato un punto P(Px,Py,Pz) e un vettore direzione n(nx,ny,nz), la retta r è data da:
/ x= Px + nxt
r: < y=Py + nyt
\ z=Pz + nzt
con t ∈ R.
Quindi con P(1; 0; 2) e n(1,2,-1):
/ x= 1 + t
r: < y= 2t
\ z= 2 – t
con t ∈ R.
I raggi appartengono a questa retta. Notiamo che ovviamente anche i centri delle due sfere apparterranno a r. Il raggio sappiamo deve essere pari a √6. Quindi dobbiamo trovare un punto per lato, sulla retta r, tale che la sua distanza dal piano π sia appunto R=√6. La distanza Punto-Piano in generale è data da:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|/√(a2+b2+c2)
dove: a,b,c,d sono i coefficienti dell’equazione del piano; mentre x0,y0,z0 sono le coordinate del punto.
Nel nostro caso, il punto è il centro della sfera e deve appartenere alla retta r, perciò sarà sempre nella forma:
/ Cx= (1 + t)
C: < Cy= (2t)
\ Cz= (2 – t)
con t ∈ R.
Troviamo quindi C(Cx,Cy,Cz), il centro delle sfere e particolarizziamo t:
d(C,π)=|1•Cx+2•Cy+-1•Cz+1|/√(12+22+(-1)2)
d(C,π)=|1•(1+t)+2•(2t)-1•(2-t)+1|/√(1+4+1)
d(C,π)=|1+t+4t–2+t+1|/√6
d(C,π)=|6t|/√6
√6=|6t|/√6
eleviamo al quadrato e togliamo il valore assoluto:
6=36t2/6
6=6t2
t2 = 1
quindi
t=-1 e t=+1
e i centri saranno:
/ C1x= 0
C1: < C1y= -2
\ C1z= 3
/ C2x= 2
C2: < C2y= 2
\ C2z= 1
Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.
- Vai al Questionario – Quesito 1 – 2017
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- La geometria analitica nello spazio (ppt)