Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 4


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 4 – Matematica

Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

Informazione

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Traccia del Problema 2 della Maturità Scientifica 2017 – Quesito 4

Consideriamo la funzione f : R → R , periodica di periodo T=4 il cui grafico, nell’intervallo [0;4], è il seguente:

Figura 1 Problema 2 Quesito 1 Maturità Scientifica 2017

Figura 1 Problema 2 Quesito 3  Maturità Scientifica 2017

Come si evince dalla Figura 1, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate:

O(0; 0), B(1; 1), D(3; −1), E(4; 0).

Quesito 4:  Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione h per x∈ [0; 3] e l’asse
delle x.

Svolgimento:

La funzione h(x) viene fuori dalla risoluzione del quesito 1:

ntegrale 1 Problema 2 Quesito 1 Maturità Scientifica 2017

Avevamo trovato che:

x∈[0,1); k=0
               x                         x                                    1
h(x)=∫ t dt = [½t2 ] = ½x2 → [½x2] = ½
            0                           0                                     0


x∈[1,3); k=0
                    x                                        x
h(x)= ½ +  ∫ (2-t) dt = [2t – ½t2 ] =
                   1                                         1
= ½ +(2x – ½x2 – 2 + ½) =
= 2x – ½x2 – 1

                    3
[2x – ½x2 – 1] =6-(9/2)-1 = ½
                    0


x∈[3,4); k=1
                 x                                      x
h(x)=½ +∫ (t-4) dt = [½t2 – 4t] =
               3                                         3

= ½ + (½x– 4x – (9/2)+12 ) =
= [½x2 – 4x + 8]

Possiamo dunque raccogliere i vari risultati e scrivere:

           / ½x2 ,                    x∈[0,1)
h(x)= < 2x – ½x2 – 1    x∈[1,3)
           \ ½x2 – 4x + 8  x∈[3,4)

Grafico Integrale Problema 2 Quesito 1 Maturità Scientifica 2017

Grafico della funzione h(x) del Problema 2 Quesito 1 Maturità Scientifica 2017

Per il calcolo del volume di un solido di rotazione è sufficiente calcolare l’area di una “fettina” di funzione f(x) e moltiplicarla per 2πx, dove x è la sua distanza dal punto di rotazione. Questo quesito nasconde “una piccola insidia” nel senso che dobbiamo stare attenti al fatto che l’asse di rotazione è l’asse y. In questo caso infatti il volume si calcola, in generale:

             x2           
Vrot= 2π∫ xf(x)dx
            x1

Particolarizzando:

                   1                                               1   
Vrot_1= 2π∫x(½ x2 )dx =(2π/8)[x4 ]= π/4
                0                                                 0

                  3                                  
Vrot_2= 2π∫x(2x – ½x2 – 1 )dx =
                1                                

            3                   3                    3                             
= 2π (∫2x2 dx  – ∫½x3 dx – ∫x dx) =
         1                   1                   1      

                        3                          3                       3                             
= 2π {[(2/3)x3]  –  [(1/8)x4 ]  –  [(1/2)x2]}=
                           1                         1                        1          

= 2π {[(54/3) – (2/3)] – [(81/8)-(1/8) – [9/2 -(1/2)]} =
=2π{(52/3) – (80/8) – (8/2)}=
=2π{52-30-12}/3=

=20π/3

A questo punto sommando:

Vrot=Vrot1=+Vrot2=
=[(1/4)+(20/3)]π =
= π(3+80)/12=
= 83π/12

Volume solido di Rotazione Problema 2 Quesito 4 Maturità Scientifica 2017

Volume del solido di Rotazione Problema 2 Quesito 4 Maturità Scientifica 2017

Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.



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