Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 10



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.



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Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 10 – Matematica


Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Quesito 10 del Questionario Maturità Scientifica 2017

Data la funzione: f(x)=|4−x2|, verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del Teorema di Rolle nell’ intervallo [−3; 3] e che comunque esiste almeno un punto dell’intervallo [−3; 3] in cui la derivata prima di f(x) si annulla. Questo esempio contraddice il Teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esauriente.

Maturità Scientifica 2017 - Questionario - Quesito 10

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 10

Svolgimento:

Questo decimo e finalmente ultimo quesito del questionario della maturità scientifica 2017 è, come il nono, quasi esclusivamente teorico e richiede di verificare le ipotesi del Teorema di Rolle.

Il teorema di Rolle

Se una funzione f(x) e’ continua in un intervallo chiuso e  limitato [a,b] ed è ivi derivabile e se inoltre agli estremi dell’intervallo funzione assume lo stesso valore f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la derivata della funzione è nulla.

Quindi le ipotesi da verificare sono:

  1. La funzione deve essere continua in [a,b];
  2. L’intervallo [a,b] deve essere chiuso e limitato;
  3. I valori agli estremi devono essere uguali: f(a)=f(b);
  4. La funzione deve essere derivabile in (a,b).

Scriviamo in modo più esplicito la funzione f(x) che è data da:

  1. se -2≤x≤2 cioè x∈[-2,2] → f(x)=4-x2
  2. se x>2 o x<-2 cioè x∈[-3,-2) o x∈(2,3] → f(x)=x2-4

che rappresentiamo graficamente qui di seguito.

Grafico della funzione - Maturità Scientifica 2017 - Questionario - Quesito 10

Grafico della funzione – Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 10

Verifichiamo:

 

  1. La funzione f(x)=|4−x2| non presenta punti di discontinuità, perciò è continua. Indaghiamo per scrupolo nel punto in  x=2 e in x=-2 controllando che sia il limite destro che quello sinistro siano rispettivamente uguali.
    lim |4−x2| = 0
    x→-2+
    lim |4−x2| = 0
    x→-2–
    Non è un punto di discontinuità;   lim |4−x2| = 0
    x→2+
    lim |4−x2| = 0
    x→2–
    Non è un punto di discontinuità. OK
  2. L’intervallo [-3,3] è chiuso, ed è sicuramente limitato in quanto sottoinsieme chiuso di R, dominio di f(x). OK
  3. f(-3)=f(3)=5. OK
  4. La funzione nell’intervallo (-3,3) non è derivabile: infatti in x=-2 e x=2, punto in cui f(x)=0, abbiamo un punto angoloso ovvero un punto di non derivabilità in quanto, pur esistendo finite entrambe, la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra (o meglio: il limite da destra della derivata destra è diverso dal limite da sinistra della derivata sinistra). Calcoliamo la derivata di f(x):
    a) f'(x)=-2x
    b) f'(x)=+2x
    quindi:
    lim -2x = 4
    x→-2+
    lim 2x = -4
    x→-2–
    E’ un punto angoloso;lim -2x = -4
    x→2+
    lim  2x = 4
    x→2–
    E’ un punto angoloso.
    Pertanto l’ipotesi di derivabilità non è rispettata. NO.

Poichè la funzione non rispetta la condizione di derivabilità in tutto l’intervallo (-3;3), allora non si può applicare Rolle.

Per quanto riguarda la seconda questione, il punto in cui la derivata prima si annulla lo possiamo calcolare in questo modo. Ricordando che f(x) è data da:

  1. se -2≤x≤2 cioè x∈[-2,2] → f(x)=4-x2
  2. se x>2 o x<2 cioè x∈[-3,2) o x∈[2,3] → f(x)=x2-4

e che la sua derivata è, rispettivamente:

  1. f'(x)=-2x
  2. f'(x)=+2x

In entrambi i casi si annulla per x=0. Quindi pur non rispettando le ipotesi di Rolle, abbiamo trovato un punto in cui la derivata prima si annulla. Questo non contraddice il teorema in quanto, appunto, non è detto che se si ha una derivata nulla allora la funzione è derivabile (come se fosse una condizione di derivabilità). Rolle non pone una condizione necessaria e sufficiente ( ⇔ ) ma solo la condizione sufficiente( ⇒ ).

Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.

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