Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 2


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 2 – Matematica

Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Quesito 2 del Questionario Maturità Scientifica 2017

Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei 3/5 del volume della semisfera.

Maturità Scientifica 2017 - Questionario - Quesito 2

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 2

Svolgimento:

Questo secondo quesito del questionario della prova di matematica della maturità scientifica 2017 richiede, in pratica, di dimostrare che qualsiasi cilindro metto sotto la semisfera, questo sarà, in volume, sempre minore dei 3/5 di quello della cupola. Partiamo con un ragionamento semplice: i cilindri possono variare tra quelli di base con cerchio con raggio pari a quello della semisfera R (il cilindro coincide con il cerchio massimo della sfera) e quelli con raggio zero ma altezza massima pari appunto al raggio R, ma con area di base nulla.

Cilindri nella semisfera - Questionario - Quesito 2

Cilindri possibili nella semisfera

Tra tutti questi dobbiamo trovare quello con volume maggiore e vedere se risulta essere inferiore ai 3/5 del volume della semisfera. Si tratta perciò di un problema di ricerca di massimi.

Vediamo anzitutto il volume della semisfera:

Vsemisfera=½Vsfera= ½[4(πR3)]/3=[2(πR3)]/3

Il volume del cilindro in generale è:

Vcilindro= Abase x haltezza = πhr2

Esprimo il raggio in funzione di x, ottenendo così:

Vcilindro= πhx2

A sua volta anche l’altezza è funzione x (e di R ) in quanto, per il teorema di Pitagora:

h=√ (R2 – x2)

Sostituendo:

Vcilindro= πx2√(R2-x2)

Per trovare il massimo di questa espressione dobbiamo derivare:

V’cilindro= [f(x)g'(x) + f'(x)g(x)]
(Derivata del prodotto di funzioni), dove:
f(x)=πx2
f'(x)=2πx
g(x)=√(R2-x2)
g'(x)=½(-2x)/(√(R2-x2))= -x/√(R2-x2)
quindi:
V’cilindro= [πx (-x)/√(R2-x2) + 2πx √(R2-x2)] =
= π( -x+ 2R2x-2x3)/√(R2-x2)=
=(2πR2x – 3πx3)/√(R2-x2)

Il massimi (o minimi) sono in corrispondenza dei valori che annullano la derivata prima; poichè è un’equazione fratta, posto che x≠R2, studio quando si annulla il numeratore:

(2πR2x – 3πx3) =0
πx(2R-3x2)=0

Le soluzioni sono:
x=0 (che si scarta, il cilindro sarebbe un segmento) oppure: 

x2=(2/3)R2

da cui:
x=±R√(2/3)

Dobbiamo controllare se effettivamente si tratta di massimi; per cui studiamo anche il segno di numeratore e denominatore:

N(x)≥0    ⇔     -R√(2/3) ≤ x ≤ +R√(2/3) (valori interni, equazione di secondo grado, coefficiente ‘a’ =1 >0, segno disequazione ‘<‘)

D(x)>0    ⇔   -R ≤ x ≤ +R (valori interni, equazione di secondo grado, coefficiente ‘a’ =1 >0, segno disequazione ‘<‘)

Dallo studio del segno e tenendo conto della simmetria, si può studiare il tutto nel primo quadrante (ottante in realtà):

Segno della derivata - Questionario - Quesito 2

Segno della derivata

Come si vede dal grafico, la derivata prima cresce e poi decresce, perciò xmax=R√(2/3) e simmetricamente lo è anche -R√(2/3). Ora bisogna controllare se il volume di questo cilindro “massimo” è inferiore ai 3/5 di Vsemisfera. Il valore di x è il valore del raggio che mi da area massima nel primo quadrante e di conseguenza volume massimo. Andiamo a calcolare Vcilindro:

Vcilindro= Abase x haltezza 

r=R√(2/3)
h=√ [(R2 – (R√(2/3))2] = R2 – (2/3) R2 = (1/3)R2

Vcilindro= (1/3)√(2/3) πR3 = √(2/27) (πR3)

passiamo alla semisfera:

V3/5semisfera = (3/5)[2(πR3)]/3 =(2/5)(πR3)

Quindi:

√(2/27) (πR3) <  (2/5)(πR3) (?)
√(2/27) < (2/5) (?)
(5/2)√(2/27) <  1 (?)
√(2*25/4*27) <1 (?)
√(50/108) <1
0,68<1

il rapporto è inferiore a 1 per cui anche la radice quadrata di un numero inferiore a 1 è inferiore a 1 e quindi il massimo cilindro inseribile dentro la cupola è più piccolo dei 3/5 del suo volume.

Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.



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