Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 1

by Romoletto Blog · 11 Luglio 2017

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 1 – Matematica

Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Quesito 1 del Questionario Maturità Scientifica 2017

Definito il numero E come:

dimostra che risulta:
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ed esprimere

in funzione di e d E.

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 1

Svolgimento:

Questo primo quesito del questionario della prova di matematica della maturità scientifica 2017 richiede, per prima cosa di svolgere l’integrale dato, la cui soluzione deve essere (e-2E). Fissiamo l’attenzione sull’integrale indefinito e osserviamo subito che è composto da un e^m(x) n(x). Viene automatico ricordare l’integrazione per parti:

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx

In pratica, se f(x)=m(x)=e^x devo trovare una g(x) tale che g'(x)=n(x)=x. Nel caso in esame g(x) = ½x² . La sua derivata infatti è x. Quindi:

∫e^xxdx = ½ e^xx²– ½∫e^xx²dx

A noi serve il secondo integrale:

½∫e^xx²dx = ½ e^xx² -∫e^xxdx

∫e^xx²dx = e^xx² – 2∫e^xxdx

Tornando all’integrale definito e sostituendo:

1 1
∫e^xx²dx = e^xx² – 2∫e^xxdx
0 0

1 1 1
∫e^xx²dx = [ e^xx² ]- 2∫e^xxdx
0 0 0

il secondo integrale vale E, quindi:

1 1
∫e^xx²dx = e – 2∫e^xxdx = (e – 2E)
0 0

Veniamo a soddisfare l’altra richiesta, ovvero esprimere il terzo integrale della traccia, sempre in funzione di e ed E. Come fatto poco fa, cerchiamo di usare l’integrazione per parti:

∫e^xx²dx = (1/3) e^xx³– (1/3)∫e^xx³dx

(1/3)∫e^xx³dx =(1/3) e^xx³– ∫e^xx²dx

∫e^xx³dx = e^xx³– 3∫e^xx²dx

1 1
∫e^xx³dx = e^xx³ – 2∫e^xx²dx
0 0

1 1 1
∫e^xx³dx = [ e^xx³ ]- 3∫e^xx²dx
0 0 0

il secondo integrale, per quanto vista prima, vale (e-2E), quindi:

1
∫e^xx³dx = e – 3(e – 2E) = 6E-2e
0

CVD