Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-08



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-08


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-08 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-08

Il limite per x che tende a 0 di (4x+sin 2x)/(x-4sin x):
1) -1/2;
2) -2;
3) -4;
4) -1/4.

Risposta corretta:
La risposta 2) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=(4x+sin 2x)(x-4sin x)^-1 - Grafico della funzione - AM016-08

Analisi Matematica – f(x)=(4x+sin 2x)(x-4sin x)^-1 – Grafico della funzione – AM016-08


Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0/0:

Lim  (4x+sin 2x)/(x-4sin x)=
x→0
= (0+0)/(0-0) = 0/0

Conviene a questo punto ci ricordare alcuni limiti notevoli:

  1. Lim   (sin x)/x = 1 
    x→0
  2. Lim   (sin ax)/bx = a/b 
    x→0

che potrebbero esserci utili. Moltiplichiamo e dividiamo per x:

Lim  x(4x+sin 2x)/x(x-4sin x)=
x→0

(lo spezziamo nel prodotto di due limiti:)

  1. Lim  (4x+sin 2x)/x=
    x→0
    =Lim  4x/x + (sin 2x/x)=
    x→0
    = 4 + 2/1 = 6;
  2. Lim  x/(x-4sin x)=
    x→0
    =Lim  1/(x-4sin x)/x=
    x→0
    =Lim  (x/x)-4(sin x)/x)=
    x→0
    =Lim  1-4(sin x)/x);
    x→0
    = 1 – 4*1 = -3;

Pertanto, usando i limiti notevoli 1) e 2) otteniamo che:

Lim (4x+sin 2x)/(x-4sin x) = A*(1/B) =
x→0
= 6/(-3) = -2.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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