Retta R024 – Problemi di Geometria Analitica
Retta R024 – Problemi di Geometria Analitica.
Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico e del primo anno di università di varie facoltà, presi da vari testi scolastici e tracce. Retta R024 è un problema di difficoltà media.
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Traccia del problema sulla retta R024
Data la retta di equazione y = (x/2)+1 nel sistema di riferimento OXY, determinare la sua equazione nel sistema O’XY, dove le coordinate della nuova origine sono O'(2,-1).
Dati:
Soluzione A:
Si disegna la retta sul piano cartesiano OXY e si ottengono i punti di intersezione retta assi cartesiani P e Q. Disegniamo anche il nuovo sistema di riferimento O’XY (in rosso).
x=0 ⇒ y=1 ⇒ P(0,1) y=0 ⇒ x=2*(-1)=-2 ⇒ Q(-2,1)
Trasformiamo le coordinate di questi punti riferendole al nuovo sistema di assi cartesiani O’XY:
Px'=Px-O'x ⇒ Px'=0-2=-2 Py'=Py-O'y ⇒ Py'=1-(-1)=2 ottenendo: P'(-2,2)
e
Qx'=Qx-O'x ⇒ QX'=-2-2=-4 Qy'=Qy-O'y ⇒ QY'=0-(-1)=1 ottenendo: Q'(-4,1)
(P e Q nella figura sono rappresentati in rosso). Applicando la formuletta della retta passante per due punti avrò l’equazione cercata:
Sostituendo quindi le coordinate dei punti P e Q si ottiene:
(y-2)/(1-2)=(x+2)/(-4+2) (y-2)=(x+2)/2 2y-4-x-2=0 e quindi: x-2y+6=0
che è appunto la retta di partenza riferita al nuovo sistema di riferimento O’XY.
Soluzione B:
Si disegna la retta sul piano cartesiano OXY e si ottengono i punti di intersezione retta assi cartesiani P e Q. Disegniamo anche il nuovo sistema di riferimento O’XY (in rosso).
In questo caso ragioniamo nel seguente modo: l’equazione esplicita di una retta generica, nel sistema di riferimento OXY, è del tipo :
y=mx+q
dove : m è il coefficiente angolare e q è l’intersezione con l’asse delle ordinate.
Nel sistema di riferimento OXY è q=1 (lo si legge direttamente oppure ponendo x=0 e ottenendo q=f(0)=1);
Una retta nel nuovo sistema di riferimento O’XY sarà del tipo:
y = m'x + q'
Tuttavia, poichè le rette devono essere parallele:
m'= m = (1/2).
Nel sistema di riferimento O’XY devo operare un cambio di coordinate e utilizzare le coordiante di O’ per ottenere q’:
q' = f(O'x)-O'y = (2*1/2+1) - (-1) = 3
Quindi sostituendo:
y = (1/2)x + 3
ovvero:
x-2y+6=0