Retta R024 – Problemi di Geometria Analitica


Categoria dell'articolo: Scuola e Ripetizioni

Lezioni principalmente di matematica, fisica, chimica e problemi svolti per le scuole medie inferiori e superiori.





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Retta R024 – Problemi di Geometria Analitica.

Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico e del primo anno di università di varie facoltà, presi da vari testi scolastici e tracce. Retta R024 è un problema di difficoltà media.

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Traccia del problema sulla retta R024

Data la retta di equazione y = (x/2)+1 nel sistema di riferimento OXY, determinare la sua equazione nel sistema O’XY, dove le coordinate della nuova origine sono O'(2,-1).

Dati:

Dati del problema Retta R024 - Geometria analitica

Dati del problema Retta R024 – Geometria analitica

Soluzione A:

Si disegna la retta sul piano cartesiano OXY e si ottengono i punti di intersezione retta assi cartesiani P e Q. Disegniamo anche il nuovo sistema di riferimento O’XY (in rosso).

Grafico del retta del problema R024 - Geometria Analitica

Grafico del retta del problema R024 – Geometria Analitica

x=0 ⇒ y=1         ⇒ P(0,1)
y=0 ⇒ x=2*(-1)=-2 ⇒ Q(-2,1)

Trasformiamo le coordinate di questi punti riferendole al nuovo sistema di assi cartesiani O’XY:

Px'=Px-O'x ⇒ Px'=0-2=-2
Py'=Py-O'y ⇒ Py'=1-(-1)=2

ottenendo: P'(-2,2)

e

Qx'=Qx-O'x ⇒ QX'=-2-2=-4
Qy'=Qy-O'y ⇒ QY'=0-(-1)=1

ottenendo: Q'(-4,1)

(P e Q nella figura sono rappresentati in rosso). Applicando la formuletta della retta passante per due punti avrò l’equazione cercata:

Equazione della retta per due punti - Retta R024 - Geometria analitica

Equazione della retta per due punti – Retta R024 – Geometria analitica

Sostituendo quindi le coordinate dei punti P e Q si ottiene:

(y-2)/(1-2)=(x+2)/(-4+2)

(y-2)=(x+2)/2

2y-4-x-2=0

e quindi:

x-2y+6=0

che è appunto la retta di partenza riferita al nuovo sistema di riferimento O’XY.

Soluzione B:

Si disegna la retta sul piano cartesiano OXY e si ottengono i punti di intersezione retta assi cartesiani P e Q. Disegniamo anche il nuovo sistema di riferimento O’XY (in rosso).

Grafico del retta del problema R024 - m e q - Geometria Analitica

Grafico del retta del problema R024 – m e q – Geometria Analitica

In questo caso ragioniamo nel seguente modo: l’equazione esplicita di una retta generica, nel sistema di riferimento OXY, è del tipo :

y=mx+q

dove : m è il coefficiente angolare e q è l’intersezione con l’asse delle ordinate.

Nel sistema di riferimento OXY è q=1 (lo si legge direttamente oppure ponendo x=0 e ottenendo q=f(0)=1);

Una retta nel nuovo sistema di riferimento O’XY sarà del tipo:

y = m'x + q'

Tuttavia, poichè le rette devono essere parallele:

 m'= m = (1/2).

Nel sistema di riferimento O’XY devo operare un cambio di coordinate e utilizzare le coordiante di O’ per ottenere q’:

q' = f(O'x)-O'y = (2*1/2+1) - (-1) = 3

Quindi sostituendo:

y = (1/2)x + 3

ovvero:

x-2y+6=0

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