Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM012-01



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM012-01


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM012-01 è un quesito di difficoltà  media.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM012-01

La parte reale di (1+i)12 vale
1) 26;
2) -212;
3) -26;
4) 212.

Risposta corretta:
La risposta 3) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - z=(1+i) - Posizione nel piano complesso - AM012-01

Analisi Matematica – z=(1+i) – Posizione nel piano complesso – AM012-01


Il quesito chiede praticamente di effettuare una elevazione a potenza del del numero complesso. Ricordiamo che, la potenza n-sima di un qualsiasi numero è una moltiplicazione ripetuta n volte. Per i numeri complessi con potenza  n-esima grande ci viene in aiuto Regola di De Moivre.

\(z^{n} = r^{n}(cos(nθ) + isin(nθ))\\ \)

Nel caso di n piccola (2 o 3) basta applicare le formule del quadrato o cubo di binomio.

\((a+ib)^2=a^2+i2ab-b^2\\ \\ (a+ib)^3=a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3\\ \)

Per poter usare la formula di De Moivre il numero deve essere in forma trigonometrica. Dato il numero complesso in forma algebrica \( z = a + ib \), dove i numeri reali a e b sono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z, per trasformarlo in forma trigonometrica, basta ricordare che: \(a = r cos θ; b = r sin θ\).  Pertanto se \( z = a + bi \rightarrow z = (r cos θ) + (r sin θ)i \). r rappresenta il modulo del numero complesso che abbiamo già visto: \(  |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) con z in forma algebrica. Per ricavare θ invece bisogna considerare l’arcotangente del rapporto b/a   \(\theta =arctan(\frac{b }{a})\\\).

Cominciamo a trasformare il numero in forma trigonometrica:

\( z=(1+i)\\ \\ \)
\( |z|=r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\\
\theta =arctan(\frac{b }{a})=arctan(1)= 45^{\circ}\\
a=1= r cos \theta =\sqrt{2}cos(45^{\circ})\\
b=1=r sin \theta =\sqrt{2}sin(45^{\circ})\\ \\
\)

Pertanto:

\( z=(1+i) \rightarrow \sqrt{2}cos(45^{\circ})+i \sqrt{2}sin(45^{\circ})\\ \\ \)

Passiamo subito ad applicare la regola di De Moivre con n=12:

\(z^{n} = r^{n}(cos(nθ) + isin(nθ))  \rightarrow \\ \\
z^{12} = (\sqrt{2})^{12}\cdot (cos(12\cdot 45^{\circ}) + isin(12\cdot 45^{\circ}))= \\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot (cos(540^{\circ}) + isin(540^{\circ}))=\\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot ((-1) + i\cdot (0))=\\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot (-1) =\\
z^{12} = -2 ^{6}=-64\\ \\ \)

Pertanto la potenza cercata vale -26.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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