Integrali indefiniti II005 – Analisi Matematica

Una serie di integrali indefiniti di Analisi Matematica svolti  per l’ultimo anno di Scuola Superiore o per il primo anno di Università, presi dalle ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico/Classico e Istituti Tecnici e a matricole universitarie. Integrali indefiniti II005 è di difficoltà bassa, ma completo di tutti i passaggi.

Traccia di Integrali indefiniti II005

Risolvere il seguente integrale:

\( \int \frac{x^5+1}{x+1}\: dx;\)

Svolgimento

Anche questo integrale è molto semplice da risolvere, basta ricordare come scomporre la somma di due monomi ognuno alla quinta potenza (somma di potenze dispari) e procedendo poi, al solito, a spezzare l’integrale di partenza in somma di integrali. Ricordiamo anzitutto che:

\( (a^5+b^5)=(a+b)(a^4-ab^3+a^2b^2-a^3b+b^4) \)

Applichiamo questa al nostro integrale:

\( \int \frac{x^5+1^5}{x+1}\: dx =\)

che diventa:

\( =\int \frac{(x+1)}{(x+1)}\cdot (x^4-x^3+x^2-x+1)dx=\)

e semplificando si trasforma in un semplice polinomio:

\( =\int (x^4-x^3+x^2-x+1)dx=\)

\( = \int x^4dx -\int x^3dx+ \int x^2dx- \int xdx+\int dx=\)

\( =(\frac{x^5}{5}+c_{1})-(\frac{x^4}{4}+c_{2}) +(\frac{x^3}{3}+c_{3})-(\frac{x^2}{2}+c_{4})+(x+c_{5})=\)

\( =\frac{x^5}{5} -\frac{x^4}{4} +\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2}+x+c\)

E questo è quanto, salvo errori o omissioni.

Link utili:

• Integrali indefiniti (Wikipedia)

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Link sponsorizzati inseriti nella pagina.

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