Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 8

by · 31 Luglio 2017

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 8 – Matematica

Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Quesito 8 del Questionario Maturità Scientifica 2017

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte.

Maturità Scientifica 2017 - Questionario - Quesito 8

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 8


Svolgimento:

Questo ottavo quesito del questionario della maturità scientifica 2017 richiede di nuovo buone conoscenze di probabilità e statistica ed elasticità nel ragionamento. Il problema ci dice che il numero 3 ha una probabilità doppia rispetto a quella di ciascun altra faccia. Nel nostro caso, possiamo dire che che se p è la probabilità di ciascun numero diverso da 3 e 2p è la probabilità del 3, la loro somma deve sempre essere pari all’unità 1. Quindi:

P=11p+2p=13p=1
(p incognita, 11 perché rimangono 11 valori oltre al 3);

quindi:

13p=1 → p = 1/13 = 7,69%

e quindi

2p=2/13 = 15,38%

Per quanto riguarda invece la probabilità che in 5 lanci esca il 3 per almeno 2 volte, la cosa è un po’ più complicata. Dobbiamo anzitutto notare che, per quello che ci interessa trovare, possiamo avere o un esito positivo o successo (esce il 3) o un esito negativo o insuccesso (esce un numero che non è 3) per cui si può inquadrare come un esperimento casuale di Bernoulli. Infatti risponde alle seguenti caratteristiche:

  1.  ad ogni lancio si hanno solo 2 esiti possibili, “esce 3” e “non esce 3”;
  2. la probabilità (2p) dell’evento che da origine all’esito positivo “esce 3” è sempre la stessa;
  3. i risultati delle prove sono indipendenti (se prima esce 3 non c’è nessuna legge che dice che la successiva prova esca un non 3 ad esempio).

Ricordiamo che in generale la variabile casuale che conta il numero di esiti positivi (esce 3) in n prove bernoulliane si chiama Bernulliana e la indichiamo con X. Nel nostro caso, vogliamo la probabilità che il 3 esca almeno 2 volte; ciò significa che non deve uscire 1 volta o nessuna, ma 2 o più volte, per cui:

con:

K =0,1,2… numero di esiti positivi;
k=0,1,2… indice numero esiti positivi; 
n = 1,2,3… numero di prove totali;
p = probabilità di esito positivo.

Occorre togliere dalla probabilità totale la probabilità appena trovata, ottenendo quindi quanto cercato:

P(X≥2)=1-P(X<2)=1-(21*114*13-5)=0,1719=17,19%

Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.

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