Disequazioni fratte o frazionarie – Matematica


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Disequazioni fratte o frazionarie: come si presentano e come risolverle.

Le disequazioni fratte o frazionarie sono rappresentate dal rapporto di due espressioni in una incognita. L’incognita è presente quindi sia a numeratore che a denominatore:

disequazioni fratte

Disequazioni fratte tipo

Questo tipo di disequazioni ti pongono la seguente domanda: “Quando il rapporto fr numeratore e denominatore mi dà valori positivi (o negativi)”? A questa si risponde con lo studio della positività del numeratore N(x) e del denominatore D(x).  Ma procediamo con ordine:

  1. Il denominatore deve essere diverso da zero: D(x)≠0  (CE – campo di esistenza dell’espressione N(x)/D(x)).
  2. Determino gli zeri del numeratore : N(x)=0.
  3. Determino gli zeri del denominatore : D(x)=0, stando attento acchè nessuno degli zeri coincida con i valori del CE, nel qual caso non si deve prendere in considerazione per scrivere le soluzioni nel caso di positività o negatività non stretta (≥ , ≤).
  4. Determino quando il numeratore è positivo, ovvero pongo N(x)>0 , a prescindere se nella traccia è presente il simbolo <, >, ≤ oppure ≥.
  5. Determino quando il denominatore è positivo, ovvero pongo D(x)>0 , a prescindere se nella traccia è presente il simbolo <, >, ≤ oppure ≥.
  6. Metto sotto forma grafica le due disequazioni N(x)>0 e D(x)>0 disegnando i rispettivi intervalli con segno.
  7. Poichè N(x)/D(x) è il prodotto tra N(x) * (1/D(x)), disegno una terza grafica con il prodotto dei segni.
  8. A questo punto la soluzione dell’equazione fratta si trova considerando gli intervalli con il segno richiesto dalla traccia (>,≥ intervalli positivi, viceversa negativi).

Un esempio vale piu di mille parole:

Equazioni Fratte - Esempio 1

Equazioni Fratte – Esempio 1

Quindi: studio il CE: x≠4; passo a trovare gli zeri del numeratore e denominatore x=-2 e x=4 che mi servono a stabilire quando sono positivi: x>-2 e x>4; effettuo il prodotto dei segni ottenendo la soluzione della disequazione (ovvero la risposta alla domanda di cui sopra) che è  S:{ x<-2 v x>4).

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