Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 6
Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 6 – Matematica
Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.
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Traccia del Quesito 6 del Questionario Maturità Scientifica 2017
Determinare il numero reale a in modo che il valore di
sia un numero reale non nullo.
Svolgimento:
Questo sesto quesito del questionario della maturità scientifica 2017 richiede lo studio del limite di cui sopra, al variare dell’esponente a. Tra tutti i valori di a si devono trovare quelli che lo rendono non nullo e finito.
Il parametro a può assumere qualsiasi valore in R. Cominciamo pertanto dal caso che sembra più immediato: a=1. Il limite diventa in parte notevole:
l=lim (sinx-x)/x =
x→0
= lim(sinx/x)-1=
x→0
= lim 1-1=0
x→0
Quindi non siamo stati fortunati. Consideriamo allora tutti i valori di a>1.
l=lim (sinx-x)/xa =
x→0
= lim (1/x(a-1)) (sinx/x)-1=
x→0
= lim ((sinx/x)-1)/(x(a-1))=
x→0
Non porta a nulla di buono;
=lim (1-1)/0= 0/0
x→0
E’ una forma indeterminata, applichiamo, al limite di partenza, de l’Hopital:
l = lim (sinx-x)/xa →(H)→
x→0
D(sinx – x) = cosx-1
D(xa) = ax(a-1)
=lim(cosx-1)/axa-1 = 0/0
x→0
Se però poniamo a=3 il limite diventa notevole:
lim -(1/3)[(1-cosx)/x2 ] =
x→0
= -(1/3)*(1/2)= -1/6
che è un valore reale e finito. Potremmo aver concluso, occorre però considerare tutti gli intervalli rimanenti. Essendo, prima di effettuare la sostituzione a=3, il limite ancora una forma 0/0, riapplichiamo de l’Hopital:
lim (cosx-1)/axa-1 →(H)→
x→0
D a(cosx – 1) = -asinx
D(xa-1) =(a-1) x(a-2)
=lim k[-sinx]/[xa-2] =0/0 =
x→0
(con k indico la parte numerica, per comodità) e riapplichiamo de l’Hopital ancora →(H)→
=lim k'(cosx)/xa-3 = ∞
x→0
Se quindi a>1 dobbiamo studiare due sottocasi:
se 1<a<3 l’esponente diventa negativo, ciò significa moltiplicare per zero si otterrà quindi un valore del limite pari a zero.
Se a>3 allora il limite vale infinito.
Resta da vedere cosa succede per valori di a<1.
lim k'(cosx)/xa-3 = 0
x→0
L’esponente in questo caso è sempre negativo e il limite vale zero.
Pertanto l’unico valore che dà limite non nullo e finito è a = 3. In effetti i vari grafici al variare di a della funzione in esame, nell’intorno dello zero, danno ulteriori conferme.
Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.
- Vai al Questionario – Quesito 1 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 2 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 3 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 4 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 5 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 6 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 7 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 8 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 9 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 10 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 4 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 4 – 2017
- Tabella Limiti notevoli
- Regola di de l’Hôpital (Wikipedia)