Campo di esistenza di funzioni matematiche – II



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Il campo di esistenza delle funzioni matematiche. Definizioni e applicazione alle funzioni più comuni. Seconda parte


Il campo di esistenza di una funzione si definisce come l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile x per ottenere il valore della y.

Funzione esponenziale:

funct08-1

Il coefficiente a deve essere positivo strettamente in quanto la potenza risulta definita solo se la base è positiva. Se infatti si considera a = -3, dando ad x il valore ½, si ottiene y(½) = √(-2) che nel campo reale non ha senso. Per questa funzione si possono distinguere tre casi:

    1. 0<a<1 : funzione esponenziale decrescente;
    2. a=1: diventa una funzione costante;
    3. a>1: funzione esponenziale crescente.

Il campo di esistenza della funzione, sotto queste ipotesi, è tutto R in tutti e tre casi; ovviamente per a = 1 non si parla più di funzione esponenziale.

funct03-3

 

 

Notare che la funzione assume solo valori positivi strettamente.

Esempio:

Funzione esponenziale

Funzione esponenziale

 

Funzione logaritmica:

 funct09

 

Il coefficiente  detto base del logaritmo, deve essere positivo strettamente in quanto il logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale.  Infatti la potenza risulta definita solo se la base è positiva. Se  si considera a = -3, dando ad x il valore ½, si ottiene y(½) = √(-2) che nel campo reale non ha senso, per cui, non potendo essere usati come base per le potenze i numeri negativi essi non sono utilizzabili nemmeno come basi dei logaritmi. Ad esempio, risolvere il logaritmo:

funct09-1

 

significa risolvere l’equazione a secondo membro, che nel campo reale non ha senso.

Per questa funzione si possono distinguere due casi:

  • 0<a<1 : funzione logaritmica decrescente;
  • a>1: funzione logaritmica crescente.

Il campo di esistenza della funzione, sotto queste ipotesi, è tutto R+ in tutti e due casi.

funct09-3

Esempio:

Funzione logaritmica

Funzione logaritmica

Funzione potenza:

funct10

 

 

La funzione potenza è definita su tre casi:

    1. a intero positivo;
    2. a intero negativo;
    3. a razionale.

Nel primo caso, a intero positivo,  la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali; perciò il campo di esistenza sarà:

funct03-3

 

 

Esempio 1:

Funzione potenza con a intero positivo

Funzione potenza con a intero positivo

Nel secondo caso, a intero negativo,  la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali tranne lo zero; perciò il campo di esistenza sarà:

 

 funct10-4

 

Esempio 2:

Funzione potenza con a intero negativo

Funzione potenza con a intero negativo

 

Nel terzo caso, a razionale,  la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali;  perciò il campo di esistenza sarà:

funct03-3

 

 

Esempio 3:

Funzione potenza con a razionale

Funzione potenza con a razionale

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