Parabola P421 – Problemi di Geometria Analitica


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Parabola P421 – Problemi risolti di Geometria Analitica

Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti delle superiori e del primo anno di università di varie facoltà e presi da vari testi scolastici. Parabola P421 è un problema di difficoltà media.

Informazione

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Traccia del problema sulla parabola P421

Dati i punti A(0;5), B(2;2), C(6;2) appartenenti a una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle Y:
1) determinarne l’equazione; 2) scrivere l’equazione della tangente alla parabola in A; 3) trovare l’area del triangolo formato dall’intersezione dellla predetta tangente con gli assi cartesiani. (Fonte: presumibilmente Zanichelli – Matematica)

Dati:

A(0;5), B(2;2), C(6;2) ∈ γ (γ parabola ad asse di simmetria verticale).

Soluzione:

Rappresentiamo sempre tutti i dati nel piano cartesiano, in modo da avere un’idea di massima di quello che si andrà a fare.

Parabola P421 - Rappresentazione dei dati

Parabola P421 – Rappresentazione dei dati

Fase 1: Equazione della parabola

L’equazione generica di una parabola ad asse di simmetria verticale (parallelo all’asse Y) è del tipo:

y = ax+ bx + c

Per determinarla occorre quindi quantificare i parametri a, b, c. Per fare questo basta imporre l’appartenenza dei tre punti A, B e C alla parabola in questione, sostituendo semplicemente le coordinate e ottenendo cosi un sistema di tre equazioni in tre incognite.

A(0;5) ⇒ 5 = a(0)2 + (0)b + c
B(2;2) ⇒ 2 = a(2)2 + (2)b + c
C(6;2) ⇒ 2 = a(6)2 + (6)b + c

ovvero:

   / c – 5 = 0
<   4a + 2b + c – 2 = 0
  \ 36a + 6b +c – 2 = 0

Risolvendolo si ottiene:

a = ¼; b = -2; c = 5.

per cui la parabola cercata è:

y = ¼x– 2x + 5

Parabola P421 - Equazione della parabola

Parabola P421 – Equazione della parabola

Fase 2: Tangente al punto A

Nota l’equazione della parabola, andiamo a determinare la tangente in A. Scriviamo l’equazione del fascio di rette con centro in A e determiniamo quale coefficiente angolare attribuirle per ottenere la retta tangente.

y-yA=mt (x -xA)
A(0,5)
y-5=mx

y=mx+5

A questo punto occorre mettere a sistema l’equazione del fascio con l’equazione della parabola; poiché vogliamo che il punto di contattato sia solo il punto A, il determinante della cosiddetta equazione risolvente deve essere nullo: Δ = 0.

   /  y=mx+5
<
  \   y = ¼x– 2x + 5

Sostituendo la prima nella seconda si ottiene:

x2-(8+4m)x=0

Il determinante deve essere:

Δ = b2 – 4ac = (8+4m)2 – 4(0)= 0
8+4m = 0 ⇔ m= -2

quindi il coefficiente angolare cercato è m=-2, che ci fa ottenere la tangente cercata:

y=-2x+5

Parabola P421 - Equazione della tangente in A

Parabola P421 – Equazione della tangente in A

Fase 3: Area del triangolo AOD

Per determinare le coordinate del punto D e quindi per ottenere le dimensioni del triangolo AOD, basta fare sistema tra la retta tangente e l’asse delle X. Quindi:

    /  y=-2x+5
<
   \   y=0

     -2x=-5 → x = 5/2

Le coordinate di D sono quindi D(0; 5/2). Il triangolo AOD ha base OD=5/2 e altezza OA = 5 da cui:

Area= (OD x OA)/2 → Area = 25/4

Parabola P421 - Area del triangolo AOD

Parabola P421 – Area del triangolo AOD

E questo è quanto.

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