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Parabola – Geometria Analitica


Matematica, Scuola e Ripetizioni / sabato, Aprile 12th, 2014

Matematica – La parabola.

Definizioni:

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (chiamata direttrice) e da un punto fisso detto fuoco. Fa parte della famiglia delle coniche. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. L’ asse della parabola è un asse di simmetria e la interseca nel vertice.

Matematica: la parabola
Esempio di parabola

La condizione quindi da rispettare per ottenere questa conica è che PF=FD. Per il punto P passano poi due rette particolari: la retta tangente la curva e la normale alla tangente, tra loro ortogonali ovviamente.

Condizione FP=PD
Condizione FP=PD

Una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y è rappresentata da un’equazione del tipo:

Parabola: equazione tipo
Equazione tipo

Se è a>0, la concavità della parabola è rivolta verso l ‘alto;  se a <0 la ,verso il basso.

Il vertice ha coordinate: 

vertice parabola

Il fuoco ha coordinate:

fuoco parabola

L’equazione dell’ asse di simmetria sarà quindi:

equazione asse simmetria

e l’equazione della direttrice:

equazione direttrice

Esempio:

Rappresentare graficamente la parabola di equazione:

 Equazione esempio

Quindi: a=2; b=-1;c=3.

Il vertice avrà coordinate:

vertice esempio

Il fuoco avrà coordinate:

Fuoco esempio

L’asse di simmetria e la direttrice hanno rispettivamente equazione:

Simmetria esempio

direttrice esempio

A questo punto è opportuno trovare le intersezioni con gli assi cartesiani, facendo sistema appunto una volta tra x=0 (asse y) e l’equazione e una volta tra y=0 (asse x) e sempre l’equazione della nostra conica. Avremo quindi rispettivamente sostituendo:

intersezione_B

Ottengo un punto di intersezione con l’asse y in A(0;3).

intersezione_A

Non ottengo alcuna intersezione con l’asse x, in quanto il discriminante dell’equazione di secondo grado è negativo.

Graficamente:

grafico_esempio