Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-14

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-14 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-14

Se P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio tale che il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale +∞, allora il grado di Q(x):
1) non si può stabilire con le informazioni date;
2) è minore di 4;
3) è maggiore di 4;
4) è uguale a 4.

Soluzione

Conviene a questo punto ricordarci la regola del confronto tra infiniti. In pratica, specialmente nelle espressioni polinomiali fratte basta trovare, trascurando tutto il resto, i monomi del Numeratore N(x) e del denominatore D(x) a esponente più alto (ο_max) ed effettuare il seguente confronto:

1. ο_max(αN(x)) >ο_max(βD(x)) → il limite tende a infinito; 
2. ο_max(αN(x)) =ο_max(βD(x)) → il limite tende al rapporto dei coefficienti α/β; 
3. ο_max(αN(x)) <ο_max(βD(x)) → il limite tende a zero. 

Cerchiamo di analizzare con degli esempi cosa succede, esaminando i vari casi:

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{P(x) }{Q(x)}=+\infty \)

1. Prendiamo un polinomio P(x) semplicissimo P(x)=x³ e Q(x)=x⁵ di grado superiore a 4:
   \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3 }{ x^5 }=+\infty?\)
   Poichè siamo nel caso 3 il limite va a zero e quindi lo escludiamo. Ed è cosi per tutti i gradi superiori a 4.
2. \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3 }{ x }=+\infty?\)
   In questo caso, siamo nel caso 1, il limite va a infinito positivo, sembrerebbe andare bene. Ma scegliendo un altro denominatore di ordine inferiore a 4 ad esempio:\(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3 }{ x^2 }=+\infty?\) : il limite va a meno infinito. Quindi già solo per questo non si può considerare corretta.
3. \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^3 }{ x^4 }=+\infty?\). Anche in questo caso il limite va a zero, essendo nel caso 3.

Pertanto potremmo sicuramente nessuna delle risposte 2,3 e 4 è vera, e comunque non si può stabilire con le sole informazioni date.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Limite di funzione (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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