Retta R141 – Problemi di Geometria Analitica



Categoria dell'articolo:
Scuola e Ripetizioni

Lezioni, ripetizioni, esempi, problemi svolti, richiami teorici, curiosità, principalmente di matematica, fisica, chimica per le scuole medie inferiori e superiori.





Articolo pubblicato da:

Views: 2836 dall'1 Luglio 2018 o dalla pubblicazione, se successiva.

Navigator

Precedente - Menu - Successivo



Se trovi interessante l'articolo che ti stai accingendo a leggere, metti un mi piace e condividi! Be Social!


Questo articolo contiene link di affiliazione IconA

Retta R141 – Problemi di Geometria Analitica.


Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, Classico e Ragioneria e del primo anno di università di varie facoltà, presi da vari testi scolastici e tracce di compiti in classe. Retta R141 è un problema di difficoltà medio-alta, anche per via del tempo di svolgimento.

Romoletto ti consiglia...
Spesso i libri sono GRATIS nei formati per KINDLE!

KINDLE ovvero il miglior dispositivo per scaricare e leggere libri digitali (ebook). Dotato di una tecnologia che simula perfettamente l’aspetto dell’inchiostro su carta, non sarà come leggere sui vari monitor a led! Gli occhi ringrazieranno. Ha una durata della batteria fino a diverse settimane!

Con Kindle è possibile modificare, ingrandire o rimpicciolire i caratteri, modificare l’interlinea e i margini del testo, tenendo premuto il dito per qualche istante su una parola si apre una finestra con la sua definizione, visualizzare il tempo, le percentuali di lettura e tanto altro. I formati in genere sono moltissimi: AZW, MOBI (formati proprietari di Amazon) ma anche DOC, TXT e PDF.

Dai uno sguardo ai tanti modelli disponibili e accessori in promozione per te:

Questi articoli potrebbero essere acquistabili con il BONUS CULTURA e con il BONUS CARTA DEL DOCENTE se venduti e spediti direttamente da Amazon. Sono esclusi prodotti di Venditori terzi sul Marketplace di Amazon. Verifica i termini e condizioni dell iniziativa Bonus Cultura 18app e di Carta del Docente.


Libri cartacei o per Kindle:

Ogni prodotto venduto da Amazon è assistito dalla garanzia, per 2 anni dalla data di consegna, aggiuntiva rispetto alle garazie eventuali del produttore!

Scopri la promozione a te riservata! Sono presenti link di affiliazione IconA 😉

Traccia del problema sulla retta R141

Dati i punti A(-1;2) e B(3;6) e la retta r: 2x+3y-17=0 individuare il punto C che essa forma con l’asse del segmento AB e il punto D, nel primo quadrante, tale che ABCD sia un parallelogramma di cui si dovranno determinare il Perimetro e l’Area.

Dati:

A(-1;2) e B(3;6) e la retta r: 2x+3y-17=0

Svolgimento:

Preliminarmente disegniamo il piano cartesiano, fissiamo l’unità di misura e posizioniamo i punti A e B. Disegniamo anche il grafico della retta r.

Retta R141 - Piano Cartesiano, punti e retta

Retta R141 – Piano Cartesiano, punti e retta

Per disegnare il grafico della retta si procede al solito modo, ovvero effettuando l’intersezione con gli assi coordinati e ottenendo i punti P e Q.

Posto:

x=0 ⇒ y=17/3;
y=0 ⇒ x=17/2;

Retta R141 - Asse del segmento, Punto medio M e Punto C

Retta R141 – Asse del segmento, Punto medio M e Punto C

Quindi P(0;17/3) e Q(17/2;0) e da questi punti faremo passare la retta. Dobbiamo ora ricavare l’equazione dell’asse del segmento AB ovvero l’equazione di quella retta passante per il punto medio M di AB e ortogonale al segmento stesso. Determinata tale equazione s: si metterà a sistema con r: in modo da ottenere le coordinate dell’intersezione C.

Posizione di M, punto medio  ed equazione dell’asse ‘s’ di AB.

Per ricavare l’equazione dell’asse di AB si procederà mediante l’uso di un fascio di rette proprio con centro in M(xM;yM) e individuando una retta che sia ortogonale a quella passante proprio da A e B. Sfruttando la condizione di ortogonalità tra due rette si deve avere che il coefficiente angolare dell’asse s deve essere l’antireciproco di mAB :

 ms = – (mAB)-1

L’equazione del fascio che devo “personalizzare” sarà del tipo:

y-yM = ms(x-xM)

Le coordinate di M(xM;yM) si trovano con le semplici regolette seguenti:

xM = ½(xA+xB)  e  yM= ½ (yA + yB)

da cui si ottiene, ricordando che A(-1;2) e B(3;6):

xM = ½(-1+3)  e  yM= ½ (2+6)
xM = 1  e  yM= 4

M(1,4)

M rappresenta, come detto, il centro del fascio. Proseguiamo ora andando a ricavare il coefficiente angolare mAB che si ricava dal semplice rapporto:

mAB = (Δy)/(Δx) = (y– yA)/(x– xA)
mAB = (6-2)/(3-(-1)) =4/4 = 1
mAB = 1      ⇒     m= – 1/1 = -1

m= – 1

Sostituendo tutto si ha:

y-yM = ms(x-xM

y-4=-1(x-1) 

s: x+y-5=0

Per ricavare quindi C si mettono a sistema r: e s:

   /  r: 2x+3y-17=0
<
   \  s: x+y-5=0

che risolto, ad esempio col metodo di sostituzione, ci da:

   /  10-2y+3y-17=0
<
   \   x=5-y

   /  y=7
<
   \  x=5-y  ⇒ x=-2

Il punto è quindi C(-2,7).

Retta R141 - Risultati Asse del segmento, Punto medio M e Punto C

Retta R141 – Risultati Asse del segmento, Punto medio M e Punto C

Posizione del punto D sul primo quadrante

Per determinare il punto D, dobbiamo tenere conto del fatto che un parallelogramma, per definizione, ha i lati opposti a due a due paralleli, per cui una retta passante per CB deve essere parallela a quella passante per AD.

Retta R141 - Retta t e individuazione del punto D

Retta R141 – Retta t e individuazione del punto D

Posizione di D ed equazione della retta ‘t’.

Il procedimento è analogo a quanto fatto nel precedente paragrafo. Per ricavare l’equazione della retta t, passante per A (e D) e parallela a CB si procederà mediante l’uso di un fascio di rette proprio con centro in A(-1;2) e parallela a una retta passante proprio da C e B. Sfruttando la condizione di parallelismo tra due rette si deve avere che il coefficiente angolare della retta t deve essere uguale a quello di mCB :

 mt =  mCB

L’equazione del fascio che devo “personalizzare” sarà del tipo:

y-yA = mt(x-xA)

si ricava che, ricordando che C(-2,7) e B(3,6):

mCB = (Δy)/(Δx) = (y– yB)/(x– xB)
mCB = (7-6)/(-2-3)) = – 1/5
mCB = – 1/5     ⇒     mt = – 1/5

m= – 1/5

Sostituendo tutto si ha:

y-yA = mt(x-xA

y-2=-(x+1)/5 

t: x+5y-9=0

Per ricavare quindi D si mettono a sistema s: e t:

   /  t: x+5y-9=0
<
   \  s: x+y-5=0

che risolto, ad esempio col metodo di sostituzione, ci da:

   /  5-y+5y-9=0
<
   \   x=5-y

   /  y=1
<
   \  x=5-y  ⇒ x=4

Il punto è quindi D(-4,1). Il nostro parallelogramma è quindi riportato nella figura sottostante.

Retta R141 - Individuazione del parallelogramma ABCD

Retta R141 – Individuazione del parallelogramma ABCD

Calcolo di Perimetro e Area del Parallelogramma ABCD

Il calcolo del perimetro è al solito la somma dei lati, per velocizzare il calcolo, poichè CB ≡ AD e CA ≡ BD, esso è dato da

P=2CB+2CA. Quindi:

CB =√((y– yB)2 + (x– xB)2)
CB = √((7- 6)2 + (-2 – 3)2) = √26

CA =√((y– yA)2 + (x– xA)2)
CA = √((7-2)2 + (-2 + 1)2) = √26

P=2√26+2√26 =4√26.

P=4√26

Retta R141 - Perimetro e Area del Parallelogramma ABCD

Retta R141 – Perimetro e Area del Parallelogramma ABCD

Il calcolo dell’Area richiede qualche passaggio ulteriore. L’area del parallelogramma è:

A=½ base x altezza

Scegliamo come base AD e l’altezza AH come mostrato in figura. Dobbiamo ricavare l’altezza e lo facciamo usando la formula della distanza punto-retta. In particolare calcoleremo la distanza di C da t (ovviamente CK ≡ AH).

Retta R141 - Altezza del Parallelogramma ABCD

Retta R141 – Altezza del Parallelogramma ABCD

Quindi:

d(C,t)= |atyC + btyC + ct|/√(at2 + bt2)

C(-2,7) e t: x+5y-9=0
d(C,t)= |1*(-2) + 5*7 -9|/√(1 + 25)
d(C,t)= 24/√(26

AH ≡ CK ≡ d(C,t)= 24/√26

Ne consegue che l’Area sarà:

A=½ AD x AH
A=½ √26 x 24/√26 = 12

A = 12

Nota: allo stesso risultato si sarebbe giunti notando che il parallelogramma ABCD in realtà è un rombo (in quanto ha tutti i lati uguali) e perciò:

A=½ Diagonale Maggiore x Diagonale minore 
A=½ CD x AB

da calcolare con la formula della distanza tra due punti. E questo è quanto.

Link utili:



Link sponsorizzati inseriti nella pagina.

Random Post

Permesso di Costruire: informazioni varie

Permesso di costruire

Il Permesso di Costruire – Art.10 e 20 T.U. Edilizia – D.P.R. 380/2001 Il Permesso di Costruire è un adempimento regolato dal T.U. sull’Edilizia (DPR380/01) e riguarda interventi ch...

Vai al post...

PREVISIONE LOTTO n°122 di GIOVEDÌ 10 OTTOBRE 2019

Previsione Lotto 10 Ottobre 2019

PREVISIONE LOTTO n°122 di GIOVEDÌ 10 OTTOBRE 2019 Esito della previsione precedente: 1)CAGLIARI:1 euro 10eLotto. (1) In parentesi tonda, eventuali risultati rilevanti (ambo, terno, ecc) su altre ruo...

Vai al post...

Cadere – Interpretazione dei sogni

Sognare di cadere - Interpretazione dei sogni

Sognare di cadere: significato, simbologia, interpretazione e numeri associati al sogno. Molti dei nostri sogni sono comuni a tutte le culture del mondo e, dove non sono presenti quegli animali o pian...

Vai al post...

PUBBLICITÀ



Disclaimer:


Questo blog NON è un prodotto editoriale ai sensi della legge n° 62 del 7 marzo 2001. Le immagini tratte da internet che possano violare i diritti di autore, previa comunicazione, attraverso la sezione -contatti-, verranno prontamente rimosse o sostituite.

Copyright:


I contenuti presenti su ROMOLETTO BLOG dei quali è autore il proprietario del blog non possono essere copiati, riprodotti, redistribuiti perché appartenenti all autore stesso. Si vieta la copia e la riproduzione dei contenuti in qualsiasi modo o forma. Si vieta altresì la pubblicazione e la redistribuzione dei contenuti non autorizzata espressamente dell autore.


Copyright © 2011 / 2021 - ROMOLETTO BLOG - All Right Reserved

IngAC

Informazioni su Romoletto Blog

Ingegnere Civile, Blogger, Programmatore VB.NET, Lezioni private per scuole medie inferiori e superiori. Per contattarmi scorri la home fino in fondo e vai al form -Contatti-

Navigazione per Articoli della stessa Categoria