Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-13



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-13


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-13 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-13

Il limite per x che tende a 0 di (x+sin 2x)/(3x-sin x)
1) vale -2;
2) vale 3/2;
3) vale 1/3;
4) vale -1.

Risposta corretta:
La risposta 2) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=(x+sin 2x)(3x-sin x)^-1 - Grafico della funzione - AM016-13

Analisi Matematica – f(x)=(x+sin 2x)(3x-sin x)^-1 – Grafico della funzione – AM016-13


Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0/0:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+sin 2x)}{(3x-sin x)}=\frac{0+0}{0-0}=0/0\)

Conviene a questo punto ricordare le regole di approssimazione nell’intorno di x0=0 di Taylor – McLaurin per se funzioni seno e coseno, fermandoci a infinitesimi di ordine superiore a 5 e 4 rispettivamente

  1. \( sin(x)=x-\frac{x^{^{3}}}{6}+o(x^{5})\)
  2. \( cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{4})\)

Nel nostro caso otteniamo:

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+2x-\frac{8x^{^{3}}}{6}+o(x^{5}))}{(3x-x+\frac{x^{^{3}}}{6}-o(x^{5}))}= \)

\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(3x-\frac{8x^{^{3}}}{6}+o(x^{5}))}{(2x+\frac{x^{^{3}}}{6}-o(x^{5}))}= \)

Conviene a questo punto ricordarci la regola del confronto tra infinitesimi; in questo caso, sono dello stesso ordine. In pratica, specialmente nelle espressioni polinomiali fratte basta trovare, trascurando tutto il resto, i monomi del Numeratore N(x) e del denominatore D(x) a esponente più basso (οmin) ed effettuare il seguente confronto:

  1. οmin(αN(x)) <οmin(βD(x)) → il limite tende a infinito; 
  2. οmin(αN(x)) =οmin(βD(x)) → il limite tende al rapporto dei coefficienti α/β; 
  3. οmin(αN(x)) >οmin(βD(x)) → il limite tende a zero. 

Nel nostro caso siamo nella situazione al punto 1; i monomi sono infatti:

οminαN(x) = 3x e οminβD(x)=2x; 

e possiamo trascurare tutto il resto. I coefficienti sono quindi:

α=3 e β=2.

\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x }{ 2x }=\frac{3}{2} \)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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