Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-11

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-11 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-11

Il limite per x che tende a 0 di (x²-x)/(x³+x²)
1) non esiste;
2) vale 0;
3) vale -1;
4) vale 1.

Soluzione

Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0 / 0:

\(\lim_{x\to 0}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0/0 \)

Conviene a questo punto ricordarci la regola del confronto tra infinitesimi; in questo caso, non sono dello stesso ordine. In pratica, specialmente nelle espressioni polinomiali fratte basta trovare, trascurando tutto il resto, i monomi del Numeratore N(x) e del denominatore D(x) a esponente più basso (ο_min) ed effettuare il seguente confronto:

1. ο_min(αN(x)) <ο_min(βD(x)) → il limite tende a infinito; 
2. ο_min(αN(x)) =ο_min(βD(x)) → il limite tende al rapporto dei coefficienti α/β; 
3. ο_min(αN(x)) >ο_min(βD(x)) → il limite tende a zero. 

Nel nostro caso siamo nella situazione al punto 1; i monomi sono infatti:

ο_minαN(x) = -x e ο_minβD(x)=x²; 

e possiamo trascurare tutto il resto. I coefficienti sono quindi:

α=-1 e β=1.

Sembrerebbe quindi il limite tendere a infinito. Tuttavia dobbiamo controllare se il limite vale +∞ o -∞ sia a destra che a sinistra di zero, in quanto x=0 è un punto di discontinuità, tra l’altro.

\(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{-}/0^+ =-\infty\)

\(\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{+}/0^+ =+\infty\)

Pertanto, non essendo uguali il limite destro e sinistro, il limite non esiste.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Limite di funzione (Wikipedia)
• Confronto tra infiniti e infinitesimi (Theteacher)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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