Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-11



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-11


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-11 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-11

Il limite per x che tende a 0 di (x2-x)/(x3+x2)
1) non esiste;
2) vale 0;
3) vale -1;
4) vale 1.

Risposta corretta:
La risposta 1) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=(x^2-x)(x^3+x^2)^-1 - Grafico della funzione - AM016-11

Analisi Matematica – f(x)=(x^2-x)(x^3+x^2)^-1 – Grafico della funzione – AM016-11


Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0 / 0:

\(\lim_{x\to 0}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0/0 \)

Conviene a questo punto ricordarci la regola del confronto tra infinitesimi; in questo caso, non sono dello stesso ordine. In pratica, specialmente nelle espressioni polinomiali fratte basta trovare, trascurando tutto il resto, i monomi del Numeratore N(x) e del denominatore D(x) a esponente più basso (οmin) ed effettuare il seguente confronto:

  1. οmin(αN(x)) <οmin(βD(x)) → il limite tende a infinito; 
  2. οmin(αN(x)) =οmin(βD(x)) → il limite tende al rapporto dei coefficienti α/β; 
  3. οmin(αN(x)) >οmin(βD(x)) → il limite tende a zero. 

Nel nostro caso siamo nella situazione al punto 1; i monomi sono infatti:

οminαN(x) = -x e οminβD(x)=x2

e possiamo trascurare tutto il resto. I coefficienti sono quindi:

α=-1 e β=1.

Sembrerebbe quindi il limite tendere a infinito. Tuttavia dobbiamo controllare se il limite vale +∞ o -∞ sia a destra che a sinistra di zero, in quanto x=0 è un punto di discontinuità, tra l’altro.

\(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{-}/0^+ =-\infty\)

\(\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{+}/0^+ =+\infty\)

Pertanto, non essendo uguali il limite destro e sinistro, il limite non esiste.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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