Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-12



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-12


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-12 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-12

Il limite per x che tende a 9 di (x-9)/(3-√x)
1) vale -6;
2) non esiste;
3) vale 0;
4) vale +∞ o  -∞.

Risposta corretta:
La risposta 1) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=(x-9)(3-√x)^-1 - Grafico della funzione - AM016-12

Analisi Matematica – f(x)=(x-9)(3-√x)^-1 – Grafico della funzione – AM016-12


Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0 / 0:

\(\lim_{x\to 9}\frac{(x-9) }{( 3-\sqrt{x} )} = 0/0 \)

Conviene a questo punto ricordare le regole per la razionalizzazione delle espressioni fratte, nel nostro caso:

\(\frac{N(x)}{A-\sqrt{B}}=\frac{N(x)}{A-\sqrt{B}}\cdot \frac{A+\sqrt{B}}{A+\sqrt{B}}=\) \(=\frac{N(x)\cdot (A+\sqrt{B}) }{A^2-B}\)

Nel nostro caso otteniamo:

\(\lim_{x\to 9}\frac{(x-9) }{( 3-\sqrt{x} )}\cdot \frac{ ( 3+\sqrt{x} ) }{( 3+\sqrt{x} )}= \)

A questo punto otteniamo:

\(=\lim_{x\to 9}\frac{(x-9)\cdot ( 3+\sqrt{x} ) }{( 9-x )}=\) \(=\lim_{x\to 9}\frac{(3x+3\sqrt{x}-27-9\sqrt{x})}{( 9-x )}=\) \(=\lim_{x\to 9}\frac{3(x-9)+\sqrt{x}(x-9)}{( 9-x )}=\) \(=\lim_{x\to 9}-\frac{(9-x)(3+\sqrt{x})}{( 9-x )}=\)

semplificando:

\(=\lim_{x\to 9}- (3+\sqrt{x}) = \) \( = -(3+\sqrt{9})=-6\)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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