Parabola P103 – Problemi di Geometria Analitica


Matematica, Scuola e Ripetizioni / giovedì, 11 Agosto, 2016

Parabola P103 – Problemi risolti di Geometria Analitica

Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Parabola P103 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso presumibilmente dal testo edito da Zanichelli.

Informazione

Hai necessità di lezioni private? Vuoi la spiegazione di un esercizio? Vuoi qualcuno che ti faccia i compiti per dopodomani? Contatta Romoletto Blog per maggiori informazioni!


Traccia del problema sulla parabola P103

Data la parabola di equazione x=½ y² -2y e il punto P(-2,3) determinare le rette tangenti t1 e t2 passanti per tale punto. Considerando l’ordinata 1 determinare la tangente t3 per il corrispondente punto sulla parabola (P3). Infine calcolare l’area del triangolo ottenuto dall’intersezione delle tre tangenti trovate.  (fonte: presumibilmente Zanichelli – Matematica)

Dati:

dati problema

Soluzione:

FASE 1. Si inizia anzitutto a disegnare il grafico della parabola, che ha l’asse parallelo all’asse delle ascisse (y=0), attraverso il vertice V( -Δ/4a, -b/2a) che risulta essere V(-2,2) e le sue intersezioni con gli assi cartesiani: x=0 ⇒ y1=4 e y2=0; ottenendo i punti P1(0,4) e P2(0,0). Viene inoltre rappresentato il punto P(2,3), noto.

Parabola P103 - 01
Parabola P103 – Disegno della conica e del punto P

FASE 2. Per determinare le equazioni delle rette tangenti uscenti dal punto P, si procede con il metodo classico: 1) equazione del fascio proprio di rette di centro P e 2) sistema fascio-conica, dal quale si ottiene un’equazione risolvente in m (coefficiente angolare da determinare). Si deve imporre la condizione di tangenza, ovvero che il Δ=b²-4ac=0

  1. y-(3) = m (x-(-2) ⇒ x = (y + 3 – 2m)/m  con m≠0
  2. (y + 3 – 2m) = ½ my² -2my

Svolgendo le varie operazioni si ottiene l’equazione risolvente:

½ my² – y(4m+2) + (4m+6)=0

dove:

a=m; b=-(4m+2); c= (4m+6);

e quindi il Δ:

Δ= -8m+4=0 ⇒ m=½

perciò la tangente t2 è: x-2y+8=0

Per quanto riguarda la tangente t1 occorre osservare che il punto P e V hanno stessa ascissa, per cui l’unica retta che può essere tangente è t1: x=-2.

Parabola P103 - 02
Parabola P103 – Tangenti t1 e t2 passanti da P

FASE 3. Occorre ora determinare il punto P3 sulla conica di ordinata yP3=1 e determinare la retta tangente alla parabola per tale punto. Quindi se yP3=1 ⇒ xP3= -3/2 cioè P3(-3/2,1).

Parabola P103 - 03
Parabola P103 – Punto P3

FASE 4. In questo caso si può procedere come nella fase 2 precedente e mettere a sistema fascio di rette con centro in P3 e parabola, ricavando il coefficiente angolare m, imponendo Δ=0. (In alternativa si può usare il metodo del coefficiente angolare scrivendo l’equazione del fascio con centro in P3 essendo m = 2 a (xP3) + b).

  1. y-(1) = m (x-(-3/2) ⇒ 2x = (2y -2 – 3m)/m  con m≠0
  2. (2y -2 – 3m) = my² -4my

Svolgendo le varie operazioni si ottiene l’equazione risolvente:

my² – 2y(4m+1) + (2m+3)=0

dove:

a=m; b=-2(4m+1); c= (2m+3);

e quindi il Δ:

Δ=m² + 2m + 1=0 ⇒ m=-1

perciò la tangente t3 è: x-2y+8=0

Parabola P103 - 04
Parabola P103 – Tangente t3

FASE 4. A questo punto troviamo tutti i punti di intersezione tra le tangenti t1 t2 e t3 e calcoliamo l’area del triangolo PAB:

Parabola P103 - 05
Parabola P103 – Triangolo PAB – Ingrandimento

Intersecando t1 e t2 riottengo P(-1,3); intersecando t1 con t2 ovvero mettendo a sistema le due equazioni ottengo il punto A(-2,3/2); infine mettendo a sistema t2 e t3 ottengo il punto B(-3,5/2).

Scelgo AP come base del triangolo la cui dimensione è semplicemente:

b= (3-3/2)=3/2

L’altezza del triangolo la si calcolo come la distanza tra retta t1 e punto P:

h=|-2-2|/1 = 4

Area=0,5bh=3

Link utili: