Circonferenza P071 – Problemi di Geometria Euclidea



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Circonferenza P071 – Problemi risolti di Geometria Euclidea


Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P071 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso dal testo edito da Zanichelli.

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Traccia del problema sulla Circonferenza P071

Le corde congruenti AB e PQ di una circonferenza di centro C si intersecano in O. Dimostra che il punto O divide le corde in due coppie di segmenti rispettivamente congruenti.

(fonte: Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

  • AB ≅ PQ
  • O punto di intersezione, che forma i segmenti: AO, OB e PO, OP.

Tesi:

AOPO ;  OBOP

Dimostrazione:

Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro C e le corde AB e PQ. Segniamo anche il punto di intersezione O. A questo punto uniamo gli estremi delle corde con il centro C, ottenendo i triangoli isosceli ABC e PQC. Notare che AC,BC,PC,PQ sono tutti raggi della circonferenza. Segniamo anche le intersezioni D ed E. I triangoli ottenuti sono tra loro congruenti, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli in quanto:

  1. AC≅PC in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. BC≅CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  3. AB≅PQ per ipotesi
Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 3: Questo ci permette di dire che anche gli angoli sono tra loro congruenti, in particolare gli angoli ACB ≅ PCQ. Notare che alla stessa conclusione si arriva dicendo che gli angoli al vertice di corde congruenti di una stessa circonferenza sono congruenti. Quindi i seguenti angoli sono: A≅B≅P≅Q.

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

A questo punto, considerando gli angoli ACP e BCQ questi sono tra loro congruenti in quanto, preso l’angolo PCB si ha:

  • ACP ≅ ACB – PCB   e anche:
  • BCQ ≅ PCQ – PCB , da cui sottraendo membro a membro si ottiene:
  • ACP – BCQ ≅ (ACB-PCQ) -PCB+PCB, ovvero:
  • ACP – BCQ ≅ 0 e quindi
  • ACP ≅ BCQ

Considerando i triangoli ACD e ECQ possiamo affermare che sono tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza, in quanto:

  1. AC ≅ CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. L’angolo inQ come dimostrato sopra.
  3. L’angolo ACP ≅ BCQ come appena dimostrato.
Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 4-5: Dalla congruenza dei triangoli ACD e ECQ possiamo affermare la congruenza degli angoli ADC ≅ CEQ. Notiamo poi che  ADC ≅ PDB e CEQ ≅ PEB in quanto angoli opposti al vertice (rispettivamente vertice D ed E). Quindi sono tutti congruenti: ADC ≅ PDB ≅ CEQ ≅ PEB. Infine gli angoli POA e BOQ sono a loro volta congruenti in quanto opposti al vertice O :  POA  ≅ BOQ. Considerando poi i lati DC e EC si ha: DCEC.

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 6: Consideriamo ora i segmenti PD e BE; possiamo scrivere senz’altro che:

  • PD ≅ PC – DC
  • BE ≅ BC – EC, sottraendo menbro a membro:
  • PDBE ≅ (PCBC) – DC + EC
  • PDBE ≅ 0
  • PD ≅  BE

Questo ci permette di applicare ai triangoli POD e BOE il secondo criterio di congruenza:

  1. PD ≅  BE, come appena dimostrato;
  2. PDB ≅ PEB come dimostrato in precedenza;
  3. P ≅ B come dimostrato in precedenza.

In particolare sono congruenti OBOP. Poi per differenza ricordando che:

  • AO ≅  AB – OB e che
  • QO PQOP, sottraendo membro a membro si ha:
  • AO ≅ (ABPQ) – OB + OP
  • AOQO ≅ 0
  • AO ≅ QO

Quindi AO≅QO e  OBOP

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.

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