Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM009-02

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM009-02 è un quesito di difficoltà  medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM009-02

Il dominio di y=[lg_1/2(x-2)]^1/2 è dato da
1) 2<x≤3;
2) 2<x<3;
3) x≥3;
4) x>3.

Soluzione

Il quesito chiede praticamente di risolvere due disequazioni. Ricordiamo che il logaritmo esiste solo se il suo argomento è strettamente positivo. Inoltre possiamo scrivere in modo leggermente diverso l’elevazione alla potenza 1/2, come radice quadrata, per avere subito a che fare con qualcosa di più familiare. L’ulteriore condizione (e disequazione) è che l’argomento della radice quadrata deve essere strettamente non negativo. Pertanto:

\( y=(ln_{1/2} (x-2))^{1/2}\\  y=\sqrt{ln_{1/2}(x-2)} \)

Scriviamo le due disequazioni (condizioni –esistenza radice, esistenza logaritmo-):

\( \exists \, [ln_{1/2} (x-2)]^{1/2} \Leftrightarrow ln_{1/2} (x-2)\geq 0 \\ \exists \, [ln_{1/2} (x-2)] \Leftrightarrow (x-2)>0 \)

Queste due condizioni devono valere contemporaneamente; scriviamo perciò il sistema corrispondente. Notare che la base del logaritmo è 0<b<1 quindi ha un andamento decrescente, “specchiato” rispetto al logaritmo con base b>1; pertanto esso è positivo se il suo argomento è inferiore a uno (e maggiore strettamente di zero, che è la prima condizione, in definitiva).

\( \left\{\begin{matrix}
(x-2)>0\\ ln_{1/2} (x-2)\geq 0 \end{matrix}\right. \)

 

\(\left\{\begin{matrix}
x>2\\ (x-2)\leq 1 \end{matrix}\right. \)

 

\( \left\{\begin{matrix}
x>2\\ x\leq 3\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(S\equiv \left \{ \forall x\epsilon \mathbb{R}\setminus 2<x\leq 3 \right \} \)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Dominio e Codominio (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

[el5f806349973d5]