Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-05

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-05 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-05

Il limite per x che tende a 0 di sin(4x) (1-cos x)/x³ vale:
1) 2;
2) +∞;
4) non esiste;
4) 4.

Soluzione

Analisi Matematica – f(x)=sin(4x) (1-cos x)x^-3 – Grafico della funzione – AM016-05

Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0/0:

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Lim  sin(4x) (1-cos x)/x³ =
x→0
= 0*(0/0)

Conviene a questo punto ci ricordare alcuni limiti notevoli:

1. Lim   (1-cos x)/x² = 1/2 
   x→0
2. Lim  (sen ax)/bx = a/b 
   x→0

che potrebbero esserci utili. Spalmiamo x³ = x· x²:

Lim  (sin(4x)/x)((1-cos x)/x²) =
x→0

(lo spezziamo nel prodotto di due limiti:)

1. Lim  (sin(4x)/x)=
   x→0
   = 4/1 = 4;
2. Lim  ((1-cos x)/x²) =
   x→0
   =1/2
   

Pertanto, usando i limiti notevoli 1) e 2) otteniamo che:

Lim  (sin(4x)/x)((1-cos x)/x²) = A* B = 4/2 = 2.
x→0

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Limite di funzione (Wikipedia)
• Limiti notevoli (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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