Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-01

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-01 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-01

Il limite per x che tende a π di (cos x + cos 2x)/(π-x)² :
1) non esiste;
2) vale 3/2;
3) vale -3/2;
4) vale +∞.

Soluzione

Analisi Matematica – f(x)=(cos x + cos 2x)(π-x)^-2  – Grafico della funzione – AM016-01

Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0/0:

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Lim    (cos x + cos 2x) / (π-x)²  =
x→π
= (-1+1) / (0)² = 0/0

Per risolverlo anzitutto conviene usare le formule di duplicazione del coseno;

Analisi Matematica – Formule di duplicazione trigonometriche – AM016-01

ottenendo cosi:

Lim  (cos x + 1 – 2 sen²x)/(π-x)² ;
x→π

A questo punto ci ricordiamo dei limiti notevoli:

1. Lim   (1-cos x)/x² = 1/2 
   x→0
2. Lim  (sen x)/x = 1 
   x→0

e vediamo di utilizzarli. Poiché ci serve che il limite tenda a zero, effettuiamo un cambio di variabile e poniamo:

t = π – x;
t² = (π – x)² ;
x = π – t.

Sostituiamo quindi:

Lim  (cos (π – t) + 1 – 2 sen²(π – t))/t² =
t→0

Usando le proprietà di seno e coseno:

cos (π – t) = – cos(t)
sin (π – t) = sin(t)

= Lim  (- cos (t) + 1 – 2 sen²(t)) / t²  =
   t→0

= Lim  (1 – cos (t))/ t²   – 2 sen²(t)) / t²  =
   t→0

= Lim  (1 – cos (t))/t²   –  2 (sen(t)/t)²  =
   t→0

che sono proprio i limiti notevoli 1) e 2); pertanto:

= 1/2 – (2)² = – 3/2.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Limite di funzione (Wikipedia)
• Limiti notevoli (Wikipedia)
• Formule di duplicazione (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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