Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-01



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-01


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-01 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-01

Il limite per x che tende a π di (cos x + cos 2x)/(π-x):
1) non esiste;
2) vale 3/2;
3) vale -3/2;
4) vale +∞.

Risposta corretta:
La risposta 3) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=(cos x + cos 2x)(π-x)^-2  - Grafico della funzione - AM016-01

Analisi Matematica – f(x)=(cos x + cos 2x)(π-x)^-2  – Grafico della funzione – AM016-01


Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0/0:

Lim    (cos x + cos 2x) / (π-x) =
x→π
= (-1+1) / (0)2 = 0/0

Per risolverlo anzitutto conviene usare le formule di duplicazione del coseno;

Analisi Matematica - Formule di duplicazione trigonometriche - AM016-01

Analisi Matematica – Formule di duplicazione trigonometriche – AM016-01

ottenendo cosi:

Lim  (cos x + 1 – 2 sen2x)/(π-x)2 ;
x→π

A questo punto ci ricordiamo dei limiti notevoli:

  1. Lim   (1-cos x)/x2 = 1/2 
    x→0
  2. Lim  (sen x)/x = 1 
    x→0

e vediamo di utilizzarli. Poiché ci serve che il limite tenda a zero, effettuiamo un cambio di variabile e poniamo:

t = π – x;
t2 = (π – x);
x = π – t.

Sostituiamo quindi:

Lim  (cos (π – t) + 1 – 2 sen2(π – t))/t2 =
t→0

Usando le proprietà di seno e coseno:

cos (π – t) = – cos(t)
sin (π – t) = sin(t)

= Lim  (- cos (t) + 1 – 2 sen2(t)) / t =
   t→0

= Lim  (1 – cos (t))/ t  – 2 sen2(t)) / t =
   t→0

= Lim  (1 – cos (t))/t  –  2 (sen(t)/t) =
   t→0

che sono proprio i limiti notevoli 1) e 2); pertanto:

= 1/2 – (2)2 = – 3/2.

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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