Somma o differenza di due cubi: scomposizione dei polinomi – Matematica



Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Somma o differenza di due cubi: scomposizione o fattorizzazione dei polinomi. Esempi ed esercizi svolti.


La scomposizione dei polinomi consiste nel trasformare la somma algebrica di monomi di cui sono composti, in prodotto di polinomi. La condizione che occorre rispettare per poter procedere nella scomposizione è che il polinomio sia ridotto a forma normale. Nel caso in cui il polinomio si presenti come somma algebrica di due quantità al cubo oppure se è possibile individuare due cubi tra i termini di cui è costituito, è bene considerare lo sviluppo della somma o differenza di due cubi.

Somma o differenza di due cubi - Matematica

Somma o differenza di due cubi – Matematica

Ricordiamo che la somma di due cubi ed è pari al “prodotto di un binomio somma di due termini per il trinomio formato da quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine meno il prodotto dei due termini”. Si ha:

A+ B3 = (A+B)( A2 – AB + B

e viceversa ovviamente:

(A+B)( A2 – AB + B) = A+ B3 

La differenza di due cubi invece è pari al “prodotto di un binomio differenza di due termini per il trinomio formato da quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine più il prodotto dei due termini”.

Infatti si ha:

A– B3 = (A – B)( A2 + AB + B

e viceversa ovviamente:

(A – B)( A2 + AB + B) = A+ B3 

Nota: questo è un caso particolare in quanto può essere applicato a tute le potenze dispari il seguente algoritmo:

a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
a5 + b5 = (a+b) (a4 -ab3 +a2b2 -a3b +b4)
a7 + b7 = (a+b) (a6 -ab5 +a2b4 -a3b3 +a4b2 -a5b +b6)

… e cosi via…

oppure:

a3 – b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
a5 – b5 = (a-b) (a4 +ab3 +a2b2 +a3b +b4)
a7 – b7 = (a-b) (a6 +ab5 +a2b4 +a3b3 +a4b2 +a5b +b6)

… e cosi via…

Esercizi sullo sviluppo della somma o differenza di due cubi

Passiamo subito a svolgere degli esercizi a difficoltà crescente:

Esercizio n°1 di 10

a3-27=
=(a)3-(3)3=
=(a-3)(a2+3a+9)

Esercizio n°2 di 10

125a2 + 8y2=
=(5x)3+(2y)3=
=(5x+2y)(25x2-10xy+4y2)

Esercizio n°3 di 10

(1/8)x3 + 27 =
=(1/2)x3 + (3)3=
=((1/2)x+3)((1/4)x2-(3/2)x+9)

Esercizio n°4 di 10

1 – (343/8)x3=
= (1)3 – ((7/2)x)3=
= (1-(7/2)x)(1+(7/2)x+(49/4)x2)

Esercizio n°5 di 10

(27/64)a3– (1/27)=
=((3/4)a)3-(1/3)3=
=((3/4)a-(1/3))((9/16)a2+ (1/4)a + (1/9))

Esercizio n°6 di 10

125a3b3-1=
=(5ab-1)(25a2b2+5ab+1)

Esercizio n°7 di 10

(1/27)x3+1000=
=((1/3)x+10)((1/9)x– (10/3)x + 100)

Esercizio n°8 di 10

0,216 + a3=
=(216/1000) – a3=
=((3/5)+a)((9/25)-3a/5+a2)

Esercizio n°9 di 10

27x+ 8y=
= (3x+2y)(9x2 – 6xy + 4y2)

Esercizio n°10 di 10

x6y3-1=
= (x2y-1)(x4y2+x2y+1)

E questo, salvo errori o sviste, è quanto.

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