Triangolo P003 – Problemi di Geometria Euclidea



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.



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Triangolo P003 – Problemi risolti di Geometria Euclidea


Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Triangolo P003 è un problema di difficoltà bassa, preso presumibilmente da un testo di matematica edito da Zanichelli.

Traccia del problema sul triangolo P003

Dato un triangolo isoscele di vertici ABC e base AB, si indichino con L, M, N i punti medi di ogni lato. Dimostrare che LMN è un triangolo isoscele. (fonte: presumibilmente Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

  • L, M, N sono punti medi rispettivamente di
    • ACALLC
    • AB → AM ≅ MB
    • BC →  BN ≅ NC

Tesi:

  • LMN è un triangolo isoscele ovvero deve avere due lati (o due angoli congruenti).

Dimostrazione:

Fase 1-2 e 3: Disegniamo il triangolo e i punti medi, in rosso segniamo il triangolo da dimostrare essere isoscele.

Triangolo P003 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Triangolo P003 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Partiamo quindi dalle ipotesi: il triangolo ABC è isoscele quindi:

  1. AC  ≅ BC
  2. A  ≅ B

I punti medi mi danno:

  1. ALLC
  2. AM ≅ MB
  3. BN ≅ NC

Quindi considerando i triangoli AML e MBN questi sono congruenti per il primo criterio di congruenza in quanto:

  1. AL ≅ BN perchè AC  ≅ BC e quindi anche AC/2  ≅ BC/2;
  2. AM ≅ MB per ipotesi;
  3. A  ≅ B per ipotesi

Quindi anche i lati LM e MN sono congruenti e quindi abbiamo dimostrato che LMN per avere due lati uguali è un triangolo isoscele.

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione. Ad essere più rigorosi, poichè i triangoli AML ed MBN sono specchiati, si sarebbe dovuti prima passare per la congruenza del triangolo ALM con LCN, poi per quella tra ALM e MBL e concludere che ALM è congruente con MNL.

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