Raccoglimento a fattor comune totale – Matematica



Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Raccoglimento a fattor comune totale: scomposizione o fattorizzazione dei polinomi. Esempi ed esercizi svolti.


La scomposizione dei polinomi consiste nel trasformare la somma algebrica di monomi di cui sono composti, in prodotto di polinomi. La condizione che occorre rispettare per poter procedere nella scomposizione è che il polinomio sia ridotto a forma normale. Uno dei metodi più semplici da applicare, qualora sia possibile, è quello del Raccoglimento a fattor comune totale che consiste semplicemente nel mettere in evidenza il fattore comune più piccolo (di grado minore) a tutti i monomi del polinomio.

Raccoglimento a fattor comune totale - Matematica

Raccoglimento a fattor comune totale – Matematica

Quello che si ottiene è un monomio per un polinomio di grado inferiore oppure un polinomio per un polinomio:

P() => M()*P'()     oppure    P() => P'()*P”() 

Esercizi sul raccoglimento a fattor comune totale

Passiamo subito a svolgere degli esercizi a difficoltà crescente:

Esercizio n°1 di 10

2xyz + 8xz = 
osservo che il termine comune numerico è 2 mentre quello letterale è xz, pertanto il monomio è 2xz e scrivo:
= 2xz (2xyz / 2xz + 8xz/2xz) =
= 2xz (y + 4)

Esercizio n°2 di 10

2x2y4 -3xy3+xy =
osservo che il termine numerico comune è 1 mentre quello letterale è xy (di grado più basso tra tutti i possibili), pertanto il monomio è xy e scrivo:
= xy (2x2y4 / xy – 3xy3/ xy + xy/xy) =
= xy (2xy3 – 3y2 + 1)

Esercizio n°3 di 10

2a(x+1)+3(x+1) =
osservo che il termine numerico comune è 1 mentre quello letterale è (x+1) (polinomio in questo caso), pertanto scrivo:
= (x+1)( 2a(x+1)/(x+1)+3(x+1)/(x+1))=
= (x+1)(2a+3)

Esercizio n°4 di 10

2x(a2-b)+3y(a2-b)+y(a2-b) =
osservo che il termine numerico comune è 1 mentre quello letterale è (a2-b) (polinomio in questo caso), pertanto scrivo:
=(a2-b) (2x(a2-b)/(a2-b)+3y(a2-b)/(a2-b)+y(a2-b)/(a2-b)) =

=(a2-b) (2x+3y+y)=
=(a2-b) (2x+4y)

Esercizio n°5 di 10

a2b4+b4=
b4(a2+1)

Esercizio n°6 di 10

10a4 – 30a5b3-20a4b=
10a4 (1 -3ab3 – 2ab2)

Esercizio n°7 di 10

(1/2)x2y– (3/4)x+ (1/4)x3y – (3/2)x2y2 =
occorre fare il minimo comune multiplo dei termini numerici:
1/2; 3/4; 1/4; 3/2; che è 1/4. La parte letterale comune più piccola è: x2, pertanto:
= (1/4)x2((2/4)x2y/(1/4)x2 – (3/4)x/(1/4)x2 + (1/4)x3y /(1/4)x2 – (6/4)x2y2/(1/4)x2) =
= (1/4)x2( 2y3 – 3 + y – 6y2) =
= (1/4)x2( 2y3 – 6y2 + y +3)

Esercizio n°8 di 10

3x2(2-y)+2y2(y-2)+y-2 =
= (2-y)(3x2+2y2) + y – 2 =
osservo che y-2 = -(2-y), sostituendo:

= (2-y)(3x2+2y2) – (2-y) =
= (2-y)((3x2+2y2) – 1)

Esercizio n°9 di 10

2a(3-b)-a2(b-3)+ 3 – b =
osservo che b-3=-(3-b), sostituedo:
= 2a(3-b)+a2(3-b)+ (3 – b)=
= (3-b) (2a + a+1) =
= (3-b) (a+ 2a +1) = 
il secondo polinomio è un prodotto notevole, ovvero un quadrato di binomio, pertanto:
= (3-b) (a+1)2

Esercizio n°10 di 10

2(x2 + 1)2(x − 3) + 2(x2 + 1)(−x3 + x2) =
= 2(x2 + 1) [(x2+1)(x-3) − x3 + x2)] =
= 2(x2 + 1) [x3-3x2+x-3 − x3 + x2) =
=2(x2 + 1) [2x2+x-3]

E questo, salvo errori o sviste, è quanto.

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