Scomposizione dei polinomi – Matematica



Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Scomposizione dei polinomi. Una rapida introduzione ed elencazione delle varie metodologie per la fattorizzazione.


Un monomio è una espressione algebrica costituita da un prodotto di fattori; è composta di una parte numerica, detta coefficiente, e di una parte letterale, con esponenti interi e positiviIl polinomio è una espressione algebrica costituita dalla somma algebrica di monomiLa scomposizione dei polinomi consiste nel trasformare la somma algebrica di monomi di cui sono composti, in prodotto di polinomi o monomio per polinomi.

La scomposizione dei polinomi - Matematica

La scomposizione dei polinomi – Matematica

La condizione che occorre rispettare per poter procedere nella scomposizione è che il polinomio sia ridotto a forma normale, ovvero non devono essere più presenti monomi simili sommabili. Chiaramente i monomi devono essere anch’essi in forma normale, cioè si presentano come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali di basi diverse.

Esempi di quanto detto e di scomposizione dei polinomi (o fattorizzazione):

◊ Monomio:

  1. 4a3b5a2bc3;
  2. 3a2b4;
  3. 5ab3ab;
  4. 2a5x3y6x2.

◊ Monomio ridotto corrispondente:

  1. 4a5b6c3;
  2. 3a2b4;
  3. 5a2b4;
  4. 2a5x5y6.

◊ Polinomio:

4a3b5a2bc+ 3a2b4 + 5ab3ab + 2a5x3y6x2
ovvero, riducendo i monomi:
4a5b6c3 + 3a2b4 + 5a2b4 + 2a5x5y6

◊ Polinomio ridotto corrispondente:

4a5b6c3 + 8a2b4 + 2a5x5y

◊ Polinomio scomposto:

2a2(4a3b6c+ 4b+ a3x5y6)
2a2[ a3(4b6c+ x5y6)+ 4b]

Esistono diverse metodologie per la scomposizione dei polinomi. Una volta che il polinomio è ridotto, se non si ha molta esperienza, si possono iniziare a contare i termini di cui è composto e tentare di applicare prodotti notevoli, trinomi notevoli, raccoglimenti a fattor comune o parziale, Ruffini e cosi via.

Cliccando sulle varie voci dell’elenco, verrà approfondito l’argomento con lo svolgimento di esercizi-tipo.

Per un polinomio ridotto a due soli termini si può tentare di applicare:

  • Differenza di quadrati (o di potenze pari).
  • Somma di cubi (o di potenze dispari).
  • Differenza di cubi (o di potenze dispari)
  • Somma di potenze pari (caso particolare).
  • Raccoglimento a fattor comune.

Per un polinomio ridotto a tre soli termini si può tentare di applicare:

  • Quadrato di binomio.
  • Trinomio notevole di secondo grado.
  • Regola di Ruffini.
  • Raccoglimento a fattor comune.

Per un polinomio ridotto a quattro soli termini si può tentare di applicare:

  • Cubo di binomio.
  • Raccoglimento a fattor comune.
  • Raggruppamenti.
  • Regola di Ruffini.

Per un polinomio ridotto a cinque soli termini si può tentare di applicare:

  • Raccoglimento a fattor comune.
  • Raggruppamenti.
  • Regola di Ruffini.

Per un polinomio ridotto a sei soli termini si può tentare di applicare:

  • Quadrato di trinomio.
  • Raccoglimento a fattor comune.
  • Raggruppamenti.
  • Regola di Ruffini.

Ricordiamo che ogni scomposizione è unica e che va comunque detto che non sempre è possibile scomporre un polinomio in fattori. Non ci resta che approfondire i vari casi.

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