Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM042-02



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Paniere ECampus



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Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM042-02


Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM042-02 è un quesito di difficoltà  medio-bassa.

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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM042-02

L’area della regione di piano delimitata dagli assi coordinati, dalla retta x=π/2 (π è pi greco) e dalla curva y = x sin x vale:
1) π/2;
2) 1-π/2;
3)1;
4) π.

Risposta corretta:
La risposta 3) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica - f(x)=xsen(x) - Integrale definito - AM042-02

Analisi Matematica – f(x)=xsen(x) – Integrale definito – AM042-02


Il quesito chiede praticamente di risolvere il seguente integrale indefinito:

\( \int x\cdot sinx\: dx \)

e di trovare gli estremi di integrazione. Nel nostro caso i punti saranno P(0,0) e il punto di intersezione tra la curva integranda e la retta verticale Q(π/2;π/2), ottenuto sostituendo π/2 alla variabile x dell’equazione integranda.

\(  y=\frac{\pi }{2}\cdot sin \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2} \)

pertanto gli estremi di integrazione saranno 0 e π/2. L’integrale definito da risolvere è quindi:

\( \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} x\cdot sinx\: dx\)

Questo integrale non è un integrale immediato o notevole, bisogna risolverlo “per parti”.  La formula dell’integrazione per parti è la seguente:

\( \int f(x)\cdot g'(x)dx=\\=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx \)

Nel nostro caso, la f(x) è (x); g'(x) è -cos(x). Quindi:

\( -xcosx-\int 1\cdot -cosx\, dx=\) \(=-xcosx+sinx+c  \)

quindi passiamo a calcolarlo come definito:

\(  [sinx-xcosx]_{0}^{\pi /2}\textrm{} =\)
\( = (1-0)-(0-0)=1 \)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale



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