Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM006-03

by Romoletto Blog · 11 Ottobre 2020

Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM006-03

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM006-03 è un quesito di difficoltà bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM006-03

Siano f(x)=xe^x+1, g(x)=xe^|x|+sin(2x), h(x)=e^|x|+sin(x²). Allora le uniche funzioni simmetriche sono:
1) f, g dispari, h pari;
2) g dispari, h pari;
3) f, g dispari;
4) f dispari, h pari.

Risposta corretta:

La risposta 2) è VERA.

Soluzione

Analisi Matematica – f(x)=xe^x+1, g(x)=xe^abs(x)+sin(2x), h(x)=e^abs(x)+sin(x^2) – Grafico della funzione – AM006-03

Studiamo tuttavia le tre funzioni. A occhio si potrebbe già dire che e^x non è simmetrica per cui le risposte con f simmetrica potrebbero già essere escluse. Per la soluzione procediamo con ordine:

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A) Una funzione è pari se:

∀x∈R, f(x)=f(-x).

Vediamo cosa succede per le tre funzioni:

f(x)=xe^x+1
f(x)=f(-x)? cioè:
xe^x+ 1 = – x e^-x+ 1 ?
svolgendo i calcoli:
e^x≠ – e ^-x Quindi non è pari.

g(x)=xe^|x|+sin(2x)
g(x)=g(-x)? cioè:
xe^|x|+sin(2x) = -xe^|-x|+sin(2(-x)) ?
xe^|x|+sin(2x) = -xe^|-x|+sin(-2x) ?
xe^|x|≠ -xe^|-x|; sin(2x) ≠ sin(-2x).
Quindi non è pari.

h(x)=e^|x|+sin(x²)
h(x)=h(-x)? cioè:
e^|x|+sin(x²) = e^|-x|+sin((-x)²) ?
e^|x|+sin(x²) = e^|-x|+sin((-x)²) ?
e^|x|= e^|-x^|; sinx²) = sin((-x)²).
Quindi è pari.

B) Una funzione è dispari se:

∀x∈R, -f(-x)=f(x)
(che è lo stesso che dire f(-x) = – f(x)).

Vediamo cosa succede per le tre funzioni:

f(x)=xe^x+1
f(x)=-f(-x)? cioè:
xe^x+ 1 =-(- x e^-x+ 1)
xe^x+ 1 = xe^-x– 1 ?
svolgendo i calcoli:
xe^x≠ xe ^-x e ovviamente 1 ≠ -1.
Quindi non è dispari.

g(x)=xe^|x|+sin(2x)
g(x)=-g(-x)? cioè:
xe^|x|+sin(2x) = – (-xe^|-x|+sin(2(-x)))?
xe^|x|+sin(2x) = xe^|-x|– sin(-2x) ?
xe^|x|= xe^|-x|; sin(2x) = – sin(-2x).
Quindi è dispari.

Per quanto riguarda h(x)=e^|x|+sin(x²): poiché abbiamo già visto essere pari, allora non può essere contemporaneamente dispari.
Quindi non è dispari.

Pertanto la g(x) è dispari e la h(x) è pari.

E questo è quanto, salvo errori e/o omissioni.