Simmetrie nelle funzioni – Matematica



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Scuola e Ripetizioni

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Lo studio delle simmetrie delle funzioni matematiche a una variabile


Studiare le eventuali simmetrie di una funzione serve a ridurre il suo studio della metà. Distinguiamo simmetrie assiali cioè rispetto ad una retta o a un asse cartesiano o simmetrie puntuali cioè rispetto ad un punto o all’origine del piano cartesiano.

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Funzioni periodiche

Una funzione si dice periodica di periodo T se assume lo stesso valore in corrispondenza degli elementi del dominio che che distano T fra loro ovvero:

  • f(x)=f(x+T) ∀x∈ C.E.

Esempio: y= senx

Nota: anche se non si tratta di funzioni simmetriche, è possibile comunque studiarle in un intervallo corrispondente al periodo T e ripetere il tratto di funzione infinite volte verso ±infinito.

Simmetrie assiali pari

Se la funzione presenta una simmetria rispetto all’asse delle ordinate, si definisce pari e verifica la seguente proprietà:

  • f(x)= f(-x)   ∀x∈ C.E. 

In questi casi è sufficiente studiarla nel semiasse positivo delle ascisse, per poi ribaltare il grafico nel semiasse negativo.

Simmetrie Pari

Simmetrie Pari

Un esempio di funzione pari è la parabola oppure la funzione biquadratica. 

  • y=x2

NOTA: non può esserci una simmetria rispetto all’asse delle ascisse poiché verrebbe meno la definizione stessa di funzione che è una legge che associa ad un valore della variabile x uno ed un solo valore della variabile y.

Simmetrie assiali dispari

Una funzione si dice dispari quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani e verifica la seguente proprietà:

  • .f(x)= -f(-x)   ∀x∈ C.E. 

Se una funzione è dispari è sufficiente studiarla nel semiasse positivo delle ascisse, e poi ruotare il grafico di un angolo piatto nel semiasse negativo.

Simmetrie Dispari

Simmetrie Dispari

Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica o l’ iperbole equilatera.

  • y=x3

Alcune proprietà delle funzioni simmetriche

  • La somma di due funzioni pari è una funzione pari.
  • La somma di due funzioni dispari è una funzione dispari.
  • Il prodotto di una funzione pari per una costante è una funzione pari.
  • Il prodotto di una funzione dispari per una costante è una funzione dispari.
  • Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari.
  • Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.
  • Il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari.
  • La derivata di una funzione pari è una funzione dispari.
  • La derivata di una funzione dispari è una funzione pari.
  • In generale la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari.
  • L’unica funzione sia pari che dispari è la funzione costante f(x)=0

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