Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-11
Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-11
Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-11 è un quesito di difficoltà medio-bassa.
Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-11
Il limite per x che tende a 0 di (x2-x)/(x3+x2)
1) non esiste;
2) vale 0;
3) vale -1;
4) vale 1.
Soluzione
Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata 0 / 0:
\(\lim_{x\to 0}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0/0 \)Conviene a questo punto ricordarci la regola del confronto tra infinitesimi; in questo caso, non sono dello stesso ordine. In pratica, specialmente nelle espressioni polinomiali fratte basta trovare, trascurando tutto il resto, i monomi del Numeratore N(x) e del denominatore D(x) a esponente più basso (οmin) ed effettuare il seguente confronto:
- οmin(αN(x)) <οmin(βD(x)) → il limite tende a infinito;
- οmin(αN(x)) =οmin(βD(x)) → il limite tende al rapporto dei coefficienti α/β;
- οmin(αN(x)) >οmin(βD(x)) → il limite tende a zero.
Nel nostro caso siamo nella situazione al punto 1; i monomi sono infatti:
οminαN(x) = -x e οminβD(x)=x2;
e possiamo trascurare tutto il resto. I coefficienti sono quindi:
α=-1 e β=1.
Sembrerebbe quindi il limite tendere a infinito. Tuttavia dobbiamo controllare se il limite vale +∞ o -∞ sia a destra che a sinistra di zero, in quanto x=0 è un punto di discontinuità, tra l’altro.
\(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{-}/0^+ =-\infty\)
\(\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(x^2-x)}{(x^3+x^2)} = 0^{+}/0^+ =+\infty\)Pertanto, non essendo uguali il limite destro e sinistro, il limite non esiste.
E questo è quanto, salvo errori od omissioni.
Link utili:
- Limite di funzione (Wikipedia)
- Confronto tra infiniti e infinitesimi (Theteacher)
- UniEcampus (Sito ufficiale)
Elenco AM Ecampus
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