Matematica – I radicali aritmetici


I radicali aritmetici Definizioni e Proprietà. Definizione 1: la radice n-esima (n∈No, n appartenente agli interi positivi) di un numero reale positivo a è il numero b ...




Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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I radicali aritmetici

Definizioni e Proprietà.

Definizione 1: la radice n-esima (n∈No, n appartenente agli interi positivi) di un numero reale positivo a è il numero b che elevato ad n dà a stesso:

  • Il numero n viene detto “indice di radice” e deve essere un numero intero strettamente positivon > 0;
  • il simbolo viene chiamato “radice”;
  • tutto ciò che sta dentro il simbolo di radice si chiama “radicando” o “argomento della radice” e deve essere un numero reale positivo, a ≥ 0;
  • il tutto (radice, indice, radicando), sotto queste condizioni, viene chiamato “radicale aritmetico”.

Radicale

Se n = 2 la radice si chiama “radice quadrata” e non si scrive l’indice; se n = 3 la radice si chiama “radice cubica”. Se n = 1 allora la radice è uguale al radicando.

La radice  n-esima di zero è zero. L’operazione con la quale si passa da a alla sua radice b si chiama “estrazione di radice”.

  • Elevare un radicale n-esimo a n equivale a ottenere il radicando stesso come risultato:

Radice Potenza

  • Ricorda: nel caso di radicali aritmetici si suppone che tutte le radici e i radicandi siano numeri Reali Positivi .

Ad es :   √4 = |2| ; √(  a² ) = |a|.

Si usa il modulo o valore assoluto in quanto vogliamo considerare solo risultati positivi.
Inoltre si ricordi che:
teorema .

Premessa. Si precisa che, nelle definizioni e proprietà seguenti, n,m,p,t sono numeri interi strettamente positivi e che a,b,c sono numeri reali positivi.

Proprietà 1: la radice del radicale non cambia se radicando e indice vengono moltiplicati per lo stesso numero p ∈ N intero positivo.

Proprietà radicali aritimetici

Proprietà 2: il valore di un radicale aritmetico non cambia se radicando e indice vengono divisi per un divisore comune.

 Proprietà 2

  • Esempio:

esempio 2

L’operazione appena vista rende “irriducibile” il radicale.

  • Riduzione di più radicali allo stesso indice: è un’operazione serve a poter confrontare i radicali o applicarvi ulteriori proprietà. I radicali vanno sempre resi irriducibili. Ad esempio:

esempio 4



Proprietà 3 (proprietà invariantiva): moltiplicando o dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale, diverso da 0, il valore del radicale non varia.

proprieta invariantiva

Proprietà 4: il prodotto di due radicali aventi stesso indice è un radicale dello stesso indice e con radicando uguale al prodotto dei radicandi. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 3

  • Portare un fattore dentro radice: il fattore può essere portato sotto il segno di radice n-esima a patto di elevarlo a una potenza n-esima. Ad esempio:

Proprietà 3-1

  • Portare un fattore fuori radice: il fattore può essere portato fuori dal segno di radice n-esima a patto di estrarne la radice n-esima. Ad esempio:

Proprietà 3-1-2

Proprietà 5: Il quoziente di due radicali aventi stesso indice è un radicale dello stesso indice e con radicando uguale al quoziente dei radicandi. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 4

Proprietà 6: l’elevazione a potenza di un radicale equivale a elevare a quella potenza il radicando. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 5

Proprietà 7: l’estrazione di radice di un radicale equivale a una radice del medesimo radicando e di indice pari al prodotto degli indici. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 6

Definizione 2: le espressioni nelle quali compaiono i radicali, vengono chiamate espressioni irrazionali o espressioni radicali. Ad esempio:

definizione 4



Definizione 3: razionalizzare il numeratore di una frazione significa portare il numeratore dell’espressione algebrica nella forma razionale (o intera) ovvero i radicali non compariranno più a numeratore. Ad esempio:

raznum

Definizione 4: razionalizzare il denominatore di una frazione significa portare l’espressione algebrica nella forma intera ovvero i radicali non compariranno più a denominatore. Ad esempio:

razden

Definzione 5: un’espressione della forma :

definizione 5

viene chiamata “radicale quadratico doppio” e se  condizione , allora valgono le seguenti uguaglianze:

definizione 6

Definizione 6: le potenze frazionarie. Sono nient altro che un altro modo di scrivere un radicale:

potfrazneg

(m,n interi positivi strettamente)

e viceversa:

potfraz2






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