Matematica – I radicali algebrici


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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I radicali algebrici, definizioni e proprietà – Matematica

Definizioni.

Definizione 1: la radice m-esima (m appartenente agli interi positivi DISPARI con m = 2n+1, n∈ No) di un numero reale è il numero reale che elevato ad m dà a stesso:

algeb5

  • Il numero m = 2n+1 viene detto “indice di radice” e deve essere un numero intero strettamente positivo dispari; m,n > 0 ;
  • il simbolo  viene chiamato “radice”;
  • tutto ciò che sta dentro il simbolo di radice si chiama “radicando” o “argomento della radice”;
  • il tutto (radice, indice, radicando), sotto queste condizioni, viene chiamato “radicale algebrico”.

Esempio:
algeb7

Definizione 2la radice m-esima (m appartenente agli interi positivi PARI con m = 2n, n∈ No) di un numero positivo è il numero reale che elevato ad m dà a stesso:

algeb6

  • Il numero m=2n viene detto “indice di radice” e deve essere un numero intero strettamente positivo pari; m,n > 0 ;
  • il simbolo  viene chiamato “radice”;
  • tutto ciò che sta dentro il simbolo di radice si chiama “radicando” o “argomento della radice”;
  • il tutto (radice, indice, radicando), sotto queste condizioni, viene chiamato indifferentemente “radicale algebrico”.

Esempio:

algeb9

Da sapere:

Se m=2 la radice si chiama “radice quadrata” e non si scrive l’indice; se m=3 la radice si chiama “radice cubica”. Se m = 1 allora la radice è uguale al radicando. La radice  n-esima di zero è zero. L’operazione con la quale si passa da a alla sua radice b si chiama “estrazione di radice”.

Inoltre:

  • Elevare un radicale n-esimo (indice ora lo chiamiamo n) a n equivale a ottenere il radicando stesso come risultato:

Radice Potenza

  • Ricorda: nel caso di radicali algebrici si suppone che tutte le radici e i radicandi siano numeri Reali. Ad es :   √4 = ±2 ; √(a²) = ±a.

Nota. Si precisa che per poter applicare le definizioni precedenti e le proprietà seguenti, n,m,p,t sono numeri interi strettamente positivi e che a,b,c sono numeri reali positivi, in modo da ricadere nelle caso dei radicali aritmetici. In generale per i radicali algebrici non sono valide quelle per i radicali aritmetici , ad esempio (³√-3) x (³√-5) uguale a ³√+15 potrebbe essere invece uguale a ³√[(+3) x (+5)]  o a ³√[(-3) x (-5)].

Proprietà.

Proprietà 1: la radice del radicale non cambia se radicando e indice vengono moltiplicati per lo stesso numero p ∈ N  intero positivo.

Proprietà radicali aritimetici

Proprietà 2: il valore di un radicale aritmetico non cambia se radicando e indice vengono divisi per un divisore comune.

Proprietà 2

  • Esempio:

esempio 2

L’operazione appena vista rende “irriducibile” il radicale.

  • Riduzione di più radicali allo stesso indice: è un’operazione serve a poter confrontare i radicali o applicarvi ulteriori proprietà. I radicali vanno sempre resi irriducibili. Ad esempio:

esempio 4

Proprietà 3 (proprietà invariantiva): moltiplicando o dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale, diverso da 0, il valore del radicale non varia.

proprieta invariantiva

Proprietà 4: il prodotto di due radicali aventi stesso indice è un radicale dello stesso indice e con radicando uguale al prodotto dei radicandi. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 3

  • Portare un fattore dentro radice: il fattore può essere portato sotto il segno di radice n-esima a patto di elevarlo a una potenza n-esima. Ad esempio:

Proprietà 3-1

  • Portare un fattore fuori radice: il fattore può essere portato fuori dal segno di radice n-esima a patto di estrarne la radice n-esima. Ad esempio:

Proprietà 3-1-2

Proprietà 5: il quoziente di due radicali aventi stesso indice è un radicale dello stesso indice e con radicando uguale al quoziente dei radicandi. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 4

Proprietà 6: l’elevazione a potenza di un radicale equivale a elevare a quella potenza il radicando. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 5

Proprietà 7: l’estrazione di radice di un radicale equivale a una radice del medesimo radicando e di indice pari al prodotto degli indici. Vale ovviamente il viceversa.

Proprietà 6

Definizione 2: le espressioni nelle quali compaiono i radicali, vengono chiamate espressioni irrazionali o espressioni radicali. Ad esempio:

definizione 4

Definizione 3: razionalizzare il numeratore di una frazione significa portare il numeratore dell’espressione algebrica nella forma razionale (o intera) ovvero i radicali non compariranno più a numeratore. Ad esempio:

raznum

Definizione 4: razionalizzare il denominatore di una frazione significa portare l’espressione algebrica nella forma intera ovvero i radicali non compariranno più a denominatore. Ad esempio:

razden

Definzione 5: un’espressione della forma :

definizione 5

viene chiamata “radicale quadratico doppio” e se  condizione , allora valgono le seguenti uguaglianze:

definizione 6

Definizione 6: le potenze frazionarie. Sono nient altro che un altro modo di scrivere un radicale:

potfrazneg

(m,n interi positivi strettamente)

e viceversa:

potfraz2

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