Integrali indefiniti II002 – Analisi Matematica



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Scuola e Ripetizioni

Lezioni, ripetizioni, esempi, problemi svolti, richiami teorici, curiosità, principalmente di matematica, fisica, chimica per le scuole medie inferiori e superiori.





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Integrali indefiniti II002 – Analisi Matematica


Una serie di integrali indefiniti di Analisi Matematica svolti  per l’ultimo anno di Scuola Superiore o per il primo anno di Università, presi dalle ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico/Classico e Istituti Tecnici e a matricole universitarie. Integrali indefiniti II002 è di difficoltà bassa, ma completo di tutti i passaggi.

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Traccia di Integrali indefiniti II002

Risolvere il seguente integrale:

\( \int (x-1)^3 dx;\)

 

Svolgimento

Integrale indefinito di f(x)=(x-1)^3 - Grafico della funzione - II002

Integrale indefinito di f(x)=(x-1)^3 – Grafico della funzione – II002

Possiamo o svolgere il cubo di binomio e quindi trattare separatamente ogni monomio del quadrinomio risultante, oppure pensare alla funzione potenza.

Con la prima opzione:

\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) \( \int (x-1)^3 dx= \) \((x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\) \( =\int (x^3-3x^2+3x-1) dx= \) \( =\int x^3 dx – 3\int x^2 dx+3\int x dx-\int dx= \) \( =\frac{x^4}{4}+c_{1}-3\cdot \frac{x^3}{3}+c_{2}+3\cdot \frac{x^2}{2}+c_{3}-xc_{4}= \) \( =\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{3x^2}{2}-x+c \)

Con la seconda opzione invece:

\( \int f(x)^n\cdot f'(x)dx= \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+c \) \( \int (x-1)^3D(x-1)dx= \) \( =\int (x-1)^3\cdot (1)\cdot dx= \) \( = \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1}+c= \) \( =\frac{(x-1)^{4}}{4}+c \)

Nel binomio alla quarta potenza, se svolto, il termine 1 (cioè 1/4) finale viene conglobato nella costante di integrazione e si ottiene lo stesso risultato. Il grafico delle funzioni integrate g(x) e h(x) infatti sono solo traslate verticalmente, ma perfettamente coincidenti.

E questo è quanto, salvo errori o omissioni.

Link utili:



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