Retta R103 – Problemi di Geometria Analitica



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Retta R103 – Problemi di Geometria Analitica.


Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, Classico e Ragioneria e del primo anno di università di varie facoltà, presi da vari testi scolastici e tracce di compiti in classe. Retta R103 è un problema di difficoltà media.

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Traccia del problema sulla retta R103

Studiare la natura del fascio di rette:
(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0 e determinare k in modo che:

1) la retta passi per il punto P(0;2)
2) la retta sia parallela all’asse x
3) la retta sia perpendicolare alla retta passante per A(-1;0) e B(2,-3)

4) la retta formi un angolo di 45° con l’asse x.

Svolgimento:

Per indagare sulla natura del fascio di rette in questione è sufficiente ripristinare le due rette che lo hanno prodotto, ovvero:

(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0
2x+kx+ky-y+3-k=0
(2x-y+3)+k(x+y-1)=0

Le rette cercate sono:

r:(2x-y+3)=0
r’:(x+y-1)=0

Per discernere se si tratta di un fascio proprio o improprio abbiamo due vie: la prima è di controllare solo tramite confronto di coefficienti se le due rette sono parallele o incidenti; la seconda è quella di mettere a sistema le due rette e se otteniamo soluzione (centro del fascio) allora si tratta di fascio proprio. Eseguiremo entrambe.

Retta R103 - Piano cartesiano, Fascio di rette proprio e centro del fascio

Retta R103 – Piano cartesiano, Fascio di rette proprio e centro del fascio

  • 1) Controlliamo la seguente espressione: p=ab’-a’b. Se p=0 ⇒ rette parallele  ⇒  Fascio Improprio; se p≠0  ⇒ rette incidenti  ⇒ Fascio Proprio. Nel nostro caso a,b,c sono i coefficienti della retta r; a’,b’,c’ sono i coefficienti della retta r’. Quindi: 2*1-1*(-1)=2+1=3≠0  ⇒ rette incidenti  ⇒ Fascio Proprio.
  • 2) Come detto, mettiamo a sistema le due rette:

  / 2x-y+3=0
<
  \ x+y-1=0

  / -3y+5=0
<
  \ x=1-y

  / y=5/3
<
  \ x=-2/3

Il centro del fascio è C(-2/3;5/3) e quindi le rette sono incidenti e il fascio è proprio.

Quesito 1) la retta passi per il punto P(0;2)

Tra tutte le rette del fascio proprio di centro C, devo trovare quella che passa anche il punto P dato, particolarizzando k. In questo caso, poiché lo scopo dell’esercizio è solo conoscere il valore di k basta sostituire le coordinate Px e Py nell’equazione del fascio: (2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0 ovvero (2+k)*Px + (k-1)*Py + 3 – k=0 ottenendo una equazione lineare da cui ricavare k.

(2+k)Px + (k-1)Py + 3 – k=0 ; P(0;2)
(2+k)*0+(k-1)*(-2)+3-k=0
2k-2+3-k=0
k=-1

Volendo si può sostituire il valore di k nell’equazione del fascio per ottenere anche l’equazione della retta  s: passante per C e P:

(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0  ;  k=-1
(2-1)x + (-1-1)y + 3 -(-1)=0
x-2y+4=0 
s: x-2y+4=0

Retta R103 - Retta passante per P(0;2)

Retta R103 – Retta passante per P(0;2)

Quesito 2) la retta sia parallela all’asse x

Affinchè la retta cercata sia parallela all’asse x occorre che il suo coefficiente angolare sia nullo ovvero mt =-a/b = 0. Nel nostro caso:

(2+k)x + (k-1)y + (3 – k)=0
a=(2+k); b=(k-1); c=(3-k)

mt= -(2+k)/(k-1) =0

k≠1;
-2-k=0 ⇒ k=-2

Volendo si può sostituire il valore di k nell’equazione del fascio per ottenere anche l’equazione della retta  t: passante per C e parallela a x:

(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0  ;  k=-1
(2-2)x + (-2-1)y + 3 -(-2)=0
-3y+5=0 
t: -3y+5=0

Retta R103 - Retta parallela all'asse x

Retta R103 – Retta parallela all’asse x

Quesito 3) la retta sia perpendicolare alla retta passante per A(-1;0) e B(2,-3)

La condizione di perpendicolarità tra due rette è espressa dalla relazione di antireciprocità dei rispettivi coefficienti angolari. Nel nostro caso deve essere:

mu = – 1/mAB

Ricordiamo inoltre che sempre il coefficiente angolare di una equazione è espresso dalla relazione:

mu =-a/b

e che, avendo due punti, il coefficiente angolare si calcola come:

mAB=Δy/Δx = (yB-yA)/(xB-xA)

Quindi sostituendo otteniamo rispettivamente, essendo:

(2+k)x + (k-1)y + (3 – k)=0
a=(2+k); b=(k-1); c=(3-k)

mu =-(2+k)/(k-1) 

A(-1;0), B(2,-3)
mAB=(-3-0)/(2+1)= -1

mAB=-1

quindi:

mu = – 1/mAB
-(2+k)/(k-1)=(-1)/(-1)

-(2+k)/(k-1)=1
k≠1;
-2-k-k+1=0
k=-1/2

k= -1/2

Volendo si può sostituire il valore di k nell’equazione del fascio per ottenere anche l’equazione della retta  u: passante per C e parallela a x:

(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0  ;  k=-1
(2-1/2)x + (-1/2-1)y + 3 -(-1/2)=0
3x/2-3/2y+7/2=0 
u: 3x-3y+7=0

Retta R103 - Retta perpendicolare al segmento AB

Retta R103 – Retta perpendicolare al segmento AB

Quesito 4) la retta formi un angolo di 45° con l’asse x

Tra tutte le rette di centro C mi serve quella che forma un angolo di 45° con l’asse x ovvero mi occorre una retta di coefficiente angolare mv=1. Al solito quindi sostituendo otteniamo, essendo:

(2+k)x + (k-1)y + (3 – k)=0
a=(2+k); b=(k-1); c=(3-k)
mv =-(2+k)/(k-1) 

mv=1
1=-(2+k)/(k-1)
k≠1;
k-1+2+k=0
k=-1/2

Volendo si può sostituire il valore di k nell’equazione del fascio per ottenere anche l’equazione della retta  v: passante per C e parallela a x:

(2+k)x + (k-1)y + 3 – k=0  ;  k=-1
(2-1/2)x + (-1/2-1)y + 3 -(-1/2)=0
3x/2-3/2y+7/2=0 
v: 3x-3y+7=0

Otteniamo quindi la stessa retta del punto 3). E questo è quanto.

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