Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM016-09

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM016-09 è un quesito di difficoltà medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM016-09

Il limite per x che tende a 0 di x^-2[cos(2x)-1] vale
1) -2;
2) -1/2;
3) 1/2;
4) 2.

Soluzione

Questo limite ricade, cosi com’è, nella forma indeterminata ∞· 0:

\(\lim_{x\to 0}x^{-2}\left ( cos(2x)-1) \right )=\infty\cdot 0 \)

Conviene a questo punto ci ricordare alcuni limiti notevoli:

1. \( \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1\)
2. \(\lim_{x\to 0}\frac{1-cos(x)}{x}=1\)

che potrebbero esserci utili. Inoltre ricordiamo le formule di duplicazione del Coseno:

\(\cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\\
\cos(2x)=1-2sin^2(x)\\
\cos(2x)=2cos^2(x)-1\)

Scriviamo diversamente il limite e svolgiamo i calcoli:

\( \lim_{x\to 0}x^{-2}\left ( cos(2x)-1) \right )= \)

applichiamo la duplicazione:

\(cos(2x)=1-2sin^2(x) \)

ottenendo:

\(  = \lim_{x\to 0}\frac{(1-2sin^2(x)-1)}{x^{ 2}}= \) \(  = \lim_{x\to 0}\frac{ -2sin^2(x))}{x^{2}} = \) \(  = \lim_{x\to 0}-2\left ( \frac{sin(x)}{x} \right )^2 = \)

applichiamo il limite notevole 1):

\(  =-2\cdot 1=-2 \)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Limite di funzione (Wikipedia)
• Limiti notevoli (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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