Integrali indefiniti II008 – Analisi Matematica

Una serie di integrali indefiniti di Analisi Matematica svolti  per l’ultimo anno di Scuola Superiore o per il primo anno di Università, presi dalle ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico/Classico e Istituti Tecnici e a matricole universitarie. Integrali indefiniti II008 è di difficoltà medio-bassa, ma completo di tutti i passaggi.

Traccia di Integrali indefiniti II008

Risolvere il seguente integrale:

\(\int \frac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)} dx\)

Svolgimento

Anche questo integrale è molto semplice da risolvere, basta effettuare la sostituzione di alcune parti dello stesso, con un cambio di variabile di integrazione, procedendo poi, al solito, a spezzare l’integrale di partenza in somma di integrali. 

\( \int \frac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)} dx; \)

usiamo il metodo di sostituzione ponendo ad esempio:

\(t=\sqrt{x};t^2=x;dx=2tdt; \)

Quindi scriviamo che:

\(2\int \frac{2-t^2}{t(t+1)}tdt=\)

\(=-2\int \frac{t^2-2}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\int \frac{t^2-1-1}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\int \frac{(t^2-1)-1}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\int \frac{(t-1)(t+1)}{(t+1)}dt+2\int \frac{1}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\int (t-1)dt+2\int \frac{1}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\int tdt+2\int dt+2\int \frac{1}{(t+1)}dt=\)

\(=-2\frac{t^2}{2}+2t+2ln|t+1|+c\)

pertanto tornando alla variabile di partenza x otteniamo:

\(=2\sqrt{x}+2ln|\sqrt{x}+1|-x+c\)

E questo è quanto, salvo errori o omissioni.

Link utili:

• Integrali indefiniti (Wikipedia)

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Link sponsorizzati inseriti nella pagina.

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