Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM012-02
Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM012-02
Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM012-02 è un quesito di difficoltà media.
Traccia del problema di Analisi Matematica – AM012-02
Una radice cubica di (-1+i)4√2 è reia con
1) r=2, a=11π/12;
2) r=2√2, a=π/4;
3) r=2, a=3π/4;
4) r=2√2, a=19π/12.
Soluzione
Il quesito chiede praticamente di effettuare una elevazione a potenza di un numero complesso. Ricordiamo che, la potenza n-sima di un qualsiasi numero è una moltiplicazione ripetuta n volte. Per i numeri complessi con potenza n-esima grande ci viene in aiuto Regola di De Moivre.
\(z^{n} = r^{n}(cos(nθ) + isin(nθ))\\ \)Nel caso di n piccola (2 o 3) basta applicare le formule del quadrato o cubo di binomio.
\((a+ib)^2=a^2+i2ab-b^2\\ \\ (a+ib)^3=a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3\\ \)Per poter usare la formula di De Moivre il numero deve essere in forma trigonometrica. Dato il numero complesso in forma algebrica \( z = a + ib \), dove i numeri reali a e b sono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z, per trasformarlo in forma trigonometrica, basta ricordare che: \(a = r cos θ; b = r sin θ\). Pertanto se \( z = a + bi \rightarrow z = (r cos θ) + (r sin θ)i \). r rappresenta il modulo del numero complesso che abbiamo già visto: \( |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) con z in forma algebrica. Per ricavare θ invece bisogna considerare l’arcotangente del rapporto b/a \(\theta =arctan(\frac{b }{a})\\\).
Cominciamo a trasformare il numero in forma trigonometrica:
\( z=(1+i)\\ \\ \)
\( |z|=r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\\
\theta =arctan(\frac{b }{a})=arctan(1)= 45^{\circ}\\
a=1= r cos \theta =\sqrt{2}cos(45^{\circ})\\
b=1=r sin \theta =\sqrt{2}sin(45^{\circ})\\ \\
\)
Pertanto:
\( z=(1+i) \rightarrow \sqrt{2}cos(45^{\circ})+i \sqrt{2}sin(45^{\circ})\\ \\ \)Passiamo subito ad applicare la regola di De Moivre con n=12:
\(z^{n} = r^{n}(cos(nθ) + isin(nθ)) \rightarrow \\ \\z^{12} = (\sqrt{2})^{12}\cdot (cos(12\cdot 45^{\circ}) + isin(12\cdot 45^{\circ}))= \\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot (cos(540^{\circ}) + isin(540^{\circ}))=\\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot ((-1) + i\cdot (0))=\\
z^{12} = 2 ^{6}\cdot (-1) =\\
z^{12} = -2 ^{6}=-64\\ \\ \)
Pertanto la potenza cercata vale -26.
E questo è quanto, salvo errori od omissioni.
Link utili:
- Numeri Complessi (Wikipedia)
- UniEcampus (Sito ufficiale)
Elenco AM Ecampus
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