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Regressione Sinusoidale: un breve riepilogo e implementazione in Visual Basic. NET – (PARTE 3: Ricerca della convergenza del parametro w0 in VB.NET).
Una volta trovati a0, b0, c0 con il valore inziale di w0 si passa a cercare la sua convergenza (o meglio: si cercherà il valore di w0 tale per cui lo scarto quadratico medio è minimo). Prima di poter fare questo però occorre passare in visual basic la derivata:
∂F/∂w = 0 (vedi parte 1)
che esplicitata diventa:
∂F/∂w = 2 {(a2-b2)∑xk sin(wxk)cos(wxk) +
+ 2ab∑xk cos2(wxk) – ab∑xk +
+ a[c∑cos(wxk) – ∑xkykcos(wxk)] +
– b[c∑sin(wxk) -∑xkyksin(wxk)]} = 0
(ogni sommatoria è su k =1,2…n)
Regressione sinusoidale – Prima approssimazione – Funz 1
In questa derivata vengono sostituite le soluzioni del precedente sistema, ottenendo quindi un valore numerico. Ci prepariamo le sommatorie attraverso la funzione Calcola_Sommatorie_dFdw():
Function Calcola_Sommatorie_dFdw(w0 As Single) As Single()
Dim SS(9) As Single
For i = 0 To Numero_Punti - 1
' ∑xk sin(wxk)cos(wxk)
SS(0) += Math.Sin(w0 * Vettore_Ax(i)) * Math.Cos(w0 * Vettore_Ax(i))
' ∑xk cos2(wxk)
SS(1) += (Math.Cos(w0 * Vettore_Ax(i))) ^ 2
' ∑xk
SS(2) += Vettore_Ax(i)
' ∑cos(wxk)
SS(3) += Math.Cos(w0 * Vettore_Ax(i))
' ∑xkykcos(wxk)
SS(4) += Vettore_Ax(i) * Vettore_Ay(i) * Math.Cos(w0 * Vettore_Ax(i))
' ∑sin(wxk)
SS(5) += Math.Sin(w0 * Vettore_Ax(i))
' ∑xkyksin(wxk)
SS(6) += Vettore_Ax(i) * Vettore_Ay(i) * Math.Sin(w0 * Vettore_Ax(i))
Next
Return SS
End Functioncon la quale calcoliamo i valore numerico della derivata ∂F/∂w. (In realtà anche questo calcolo serve a ben poco: inizialmente si era pensato di trovare il valore di w0 che rendeva più vicina a zero proprio questa derivata).
Function dFdw(a0 As Single, b0 As Single, c0 As Single, w0 As Single) As Single
'∂F/∂w = 2 {(a2-b2)∑xk sin(wxk)cos(wxk) +
'+ 2ab∑xk cos2(wxk) - ab∑xk +
'+ a[c∑cos(wxk) - ∑xkykcos(wxk)] +
'- b[c∑sin(wxk) -∑xkyksin(wxk)]}
Dim SS() As Single = Calcola_Sommatorie_dFdw(w0)
dFdw = 2 * (
(a0 ^ 2 - b0 ^ 2) * SS(0) +
2 * a0 * b0 * SS(1) - a0 * b0 * SS(2) +
a0 * (c0 * SS(3) - SS(4)) -
b0 * (c0 * SS(5) - SS(6))
)
End FunctionA questo punto ci occorre conoscere a quale valore di w0 dobbiamo prendere per far si che l’uguaglianza a zero della derivata sia verificata o comunque molto piccola. Ci sviluppiamo il calcolo dello Scarto Quadratico Medio con la funzione Calcola_SQM():
Function Calcola_SQM(a0 As Single, b0 As Single, c0 As Single, w0 As Single) As Single
'F(a,b,c,w) = ∑[( a sen(wx) + b cos(wx) + c) - yk]2
Dim s As Single = 0
For i = 0 To Numero_Punti - 1
s += (((a0 * Math.Sin(w0 * Vettore_Ax(i)) + b0 * Math.Cos(w0 * Vettore_Ax(i)) + c0 - Vettore_Ay(i))) ^ 2)
Next
s = (s / Numero_Punti) ^ 0.5
Return s
End FunctionPiù piccolo è lo SQM maggiore sarà la corrispondenza della sinusoide ai punti. Ora è possibile procedere su un intervallo di valori [-π,+π] fino a trovare il valore che si avvicina di più zero. Trovato questo valore si procederà alla ulteriore scansione nell’intorno di tale valore. La funzione è la dFdw_Min_VAss() che restituisce un vettore con i minimi legati allo SQM: dF/dw0, w0, a, b, c, sqm.
Function dFdw_Err_Min() As Single()
Dim TabMinimi(5) As Single
TabMinimi(0) = 10 ^ 20
TabMinimi(1) = 10 ^ 20
TabMinimi(2) = 10 ^ 20
TabMinimi(3) = 10 ^ 20
TabMinimi(4) = 10 ^ 20
TabMinimi(5) = 10 ^ 20
For w0 = -Math.PI To Math.PI Step 0.01
Dim sol() = Risolvi_Sistema_Lineare(w0)
If sol IsNot Nothing Then
Dim df = dFdw(sol(0), sol(1), sol(2), w0)
Dim SqM = Calcola_SQM(sol(0), sol(1), sol(2), w0)
'trova l'errore standard minimo
If SqM < TabMinimi(5) Then
TabMinimi(0) = df
TabMinimi(1) = w0
TabMinimi(2) = sol(0)
TabMinimi(3) = sol(1)
TabMinimi(4) = sol(2)
TabMinimi(5) = SqM
End If
End If
Next
Return TabMinimi
End Function
Regressione sinusoidale – Prima approssimazione – Funz 2
Nella terza parte implementeremo in VB.NET l’affinamento della soluzione trovata. Nel frattempo se vuoi approfondire la questione, eccoti alcuni link utili:
- Scarto quadratico medio (Wikipedia);
- Torna alla parte 1 o alla parte 2 o vai alla parte 4 o vai alla parte 5.
- Eseguibile e alcune serie di punti qui: Regressione Sinusoidale
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