Regressione Sinusoidale e Visual Basic – Parte 2



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.



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Regressione Sinusoidale: un breve riepilogo e implementazione in Visual Basic. NET – (PARTE 2: implementazione del sistema lineare e sua risoluzione in VB.NET).


Viste le basi teorico-matematiche del problema sulla regressione trigonometrica, passiamo ora alla sua implementazione in linguaggio basic (in ambiente VB.NET). Forse si sarebbe potuto usare un altro linguaggio come il c++ o fortran, ma essendo il vb tra quelli più facili, usato anche in Excell (vba) e alla portata di tutti, si è preferita questa opzione.

Regressione sinuosidale - dati e grafico e sistema

Regressione sinuosidale – dati e grafico e sistema lineare

Implementazione del sistema lineare

La prima cosa da fare è trasformare le premesse matematiche della parte 1 di questo articolo in funzioni o subroutine in vbnet. Implementiamo preliminarmente delle funzioni che ci permettano di effettuare vari calcoli matriciali per la risoluzione del sistema lineare. Il w0 di default per adesso è impostato a 1. I punti, in base alle preferenze utente, possono essere inserite a livello di programmazione oppure in un file di testo esterno.

Sistema finale Regressione trigonometrica

Sistema Lineare della Regressione Sinusoidale

Dichiariamo i vettori contenenti le coordinate dei punti e le variabili pubblici:

Public Vettore_Ax(10000) As Single ' contiene le ascisse dei punti
    Public Vettore_Ay(10000) As Single ' contiene le ordinate dei punti
    Public Numero_Punti As Integer = 0 ' numero di punti

I vettori sono ampiamente dimensionati, ma Redim Preserve può  ridimensionarli a ribasso per evitare sprechi. Più punti si devono analizzare più lenta sarà l’elaborazione.

Le funzioni di base per la risoluzione del sistema

La funzione Determinante() permette di calcolare appunto di il determinante di matrici 3×3 col metodo di Sarrus:

Private Function Determinante(Matrice(,) As Single)
        'solo 3x3
        Dim S1 = Matrice(0, 0) * Matrice(1, 1) * Matrice(2, 2)
        Dim S2 = Matrice(0, 1) * Matrice(1, 2) * Matrice(2, 0)
        Dim S3 = Matrice(0, 2) * Matrice(1, 0) * Matrice(2, 1)
 
        Dim D1 = Matrice(0, 2) * Matrice(1, 1) * Matrice(2, 0)
        Dim D2 = Matrice(0, 0) * Matrice(1, 2) * Matrice(2, 1)
        Dim D3 = Matrice(0, 1) * Matrice(1, 0) * Matrice(2, 2)
 
        Return S1 + S2 + S3 - D1 - D2 - D3
End Function

Passiamo poi alla funzione Rango() che permette di calcolare il rango delle matrici 3×3 (ci servirà per sapere se il sistema ammette soluzioni):

Private Function Rango(Matrice(,) As Single)
        'solo 3x3
        Rango = 1
 
        If Determinante(Matrice) <> 0 Then
            Return 3
        Else
            Dim S1 = Matrice(0, 0) * Matrice(1, 1)
            Dim S2 = Matrice(0, 1) * Matrice(1, 2)
 
            Dim D1 = Matrice(0, 2) * Matrice(1, 1)
            Dim D2 = Matrice(0, 0) * Matrice(1, 2)
 
            If S1 + S2 - D1 - D2 <> 0 Then Return 2
 
        End If
 
End Function

(Nota: in realtà poi questa funzione non si è mai usata, ma può sempre essere utile per altri scopi). Implementiamo ora il sistema, o meglio le sue matrici. Calcoliamo la matrice dei coefficienti tramite la funzione Calcolo_Matrice_Coefficienti_x_Punto() per ogni singolo punto; i valori trovati saranno passati poi alla funzione successiva che effettua le sommatorie. Nulla impedisce di inglobare le due funzioni in una sola.

Private Function Calcolo_Matrice_Coefficienti_x_Punto(CX As Single, CY As Single, Optional w0 As Single = 1)
        'input coordinate dei punti
        'output matrice 3x3 sistema
 
        'matrice dei coefficienti
        Dim M3x3(2, 2) As Single
 
        M3x3(0, 0) = (Math.Sin(w0 * CX)) ^ 2
        M3x3(0, 1) = (Math.Sin(w0 * CX)) * (Math.Cos(w0 * CX))
        M3x3(0, 2) = (Math.Sin(w0 * CX))
 
        M3x3(1, 0) = (Math.Cos(w0 * CX)) * (Math.Sin(w0 * CX))
        M3x3(1, 1) = (Math.Cos(w0 * CX)) ^ 2
        M3x3(1, 2) = (Math.Cos(w0 * CX))
 
        M3x3(2, 0) = (Math.Sin(w0 * CX))
        M3x3(2, 1) = (Math.Cos(w0 * CX))
        M3x3(2, 2) = 1
 
        Return M3x3
 
End Function

Stesso procedimento con la matrice delle soluzioni tramite Calcolo_Matrice_Termini_Noti_x_Punto() i cui risultati passano alla funzione

Private Function Calcolo_Matrice_Termini_Noti_x_Punto(CX As Single, CY As Single, Optional w0 As Single = 1)
 
        'input coordinate dei punti
        'output matrice 3x3 sistema
 
        'matrice dei coefficienti
        Dim M3x1(2) As Single
 
        M3x1(0) = CY * (Math.Sin(w0 * CX))
        M3x1(1) = CY * (Math.Cos(w0 * CX))
        M3x1(2) = CY
 
 
        Return M3x1
 
 End Function

Ora passiamo alla creazione della Matrice incompleta (che è costituita da sommatorie) tramite la funzione Matrice_Incompleta_Sommatoria():

Private Function Matrice_Incompleta_Sommatoria(CX() As Single, CY() As Single, Optional w0 As Single = 1)
        'sommatoria
        Dim Somma(2, 2) As Single
        For K = 0 To Numero_Punti - 1
            Dim Result = Calcolo_Matrice_Coefficienti_x_Punto(CX(K), CY(K))
            Somma(0, 0) += Result(0, 0)
            Somma(0, 1) += Result(0, 1)
            Somma(0, 2) += Result(0, 2)
 
            Somma(1, 0) += Result(1, 0)
            Somma(1, 1) += Result(1, 1)
            Somma(1, 2) += Result(1, 2)
 
            Somma(2, 0) += Result(2, 0)
            Somma(2, 1) += Result(2, 1)
            Somma(2, 2) += Result(2, 2)
        Next
        Return Somma
End Function

Allo stesso modo implementiamo il vettore dei termini noti (che è costituito da sommatorie) tramite la funzione Matrice_Termini_Noti_Sommatoria():

Private Function Matrice_Termini_Noti_Sommatoria(CX() As Single, CY() As Single, Optional w0 As Single = 1)
        'sommatoria
        Dim Somma(2) As Single
        For K = 0 To Numero_Punti - 1
            Dim Result = Calcolo_Matrice_Termini_Noti_x_Punto(CX(K), CY(K))
            Somma(0) += Result(0)
            Somma(1) += Result(1)
            Somma(2) += Result(2)
        Next
        Return Somma
    End Function

Soluzione del sistema lineare

Adesso che abbiamo impostato le matrici del sistema [A] [X] = [B] passiamo alla sua risoluzione, con semplice metodo di Cramer per i sistemi a 3 equazioni e 3 incognite, tramite la funzione : Solve_Sistema().

Private Function Solve_Sistema(Matrice_Incompleta(,) As Single, Vettore_TN() As Single)
        ' usiamo il metodo di Cramer se det <>0
 
        Dim Det = Determinante(Matrice_Incompleta)
        Dim S1 As Single = 0
        Dim S2 As Single = 0
        Dim S3 As Single = 0
 
        If Det <> 0 Then
            '=================================
            Dim A(2, 2) As Single
            Dim B(2, 2) As Single
            Dim C(2, 2) As Single
            '=================================
            A(0, 0) = Vettore_TN(0)
            A(0, 1) = Matrice_Incompleta(0, 1)
            A(0, 2) = Matrice_Incompleta(0, 2)
 
            A(1, 0) = Vettore_TN(1)
            A(1, 1) = Matrice_Incompleta(1, 1)
            A(1, 2) = Matrice_Incompleta(1, 2)
 
            A(2, 0) = Vettore_TN(2)
            A(2, 1) = Matrice_Incompleta(2, 1)
            A(2, 2) = Matrice_Incompleta(2, 2)
            '=================================
            B(0, 0) = Matrice_Incompleta(0, 0)
            B(0, 1) = Vettore_TN(0)
            B(0, 2) = Matrice_Incompleta(0, 2)
 
            B(1, 0) = Matrice_Incompleta(1, 0)
            B(1, 1) = Vettore_TN(1)
            B(1, 2) = Matrice_Incompleta(1, 2)
 
            B(2, 0) = Matrice_Incompleta(2, 0)
            B(2, 1) = Vettore_TN(2)
            B(2, 2) = Matrice_Incompleta(2, 2)
            '=================================
            C(0, 0) = Matrice_Incompleta(0, 0)
            C(0, 1) = Matrice_Incompleta(0, 1)
            C(0, 2) = Vettore_TN(0)
 
            C(1, 0) = Matrice_Incompleta(1, 0)
            C(1, 1) = Matrice_Incompleta(1, 1)
            C(1, 2) = Vettore_TN(1)
 
            C(2, 0) = Matrice_Incompleta(2, 0)
            C(2, 1) = Matrice_Incompleta(2, 1)
            C(2, 2) = Vettore_TN(2)
            '=================================
            Dim Det_A = Determinante(A)
            Dim Det_B = Determinante(B)
            Dim Det_C = Determinante(C)
 
            S1 = Det_A / Det
            S2 = Det_B / Det
            S3 = Det_C / Det
            Dim Soluzioni() = {S1, S2, S3}
 
            Return Soluzioni
        Else
            Return Nothing
        End If
 
End Function

Per la risoluzione del sistema si procederà mettendo dentro un Button ad esempio la seguente funzione Risolvi_Sistema_Lineare():

Private Function Risolvi_Sistema_Lineare()
        Dim W0 = 1S
        Dim M_IN(,) As Single = Matrice_Incompleta_Sommatoria(Vettore_Ax, Vettore_Ay, W0)
        Dim M_TN() As Single = Matrice_Termini_Noti_Sommatoria(Vettore_Ax, Vettore_Ay, W0)
        Dim SOL_SL() As Single = Solve_Sistema(M_IN, M_TN)
        Return SOL_SL
 End Function

La funzione restituisce il vettore delle soluzioni. Abbiamo terminato questa seconda parte sulla regressione trigonometrica e implementazione VBnet. Nella terza parte implementeremo la ricerca del valore migliore di w0 (per ora impostato a 1), in VB.NET . Nel frattempo se vuoi approfondire la questione, eccoti alcuni link utili:

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