Integrali indefiniti II003 – Analisi Matematica

Integrali indefiniti II003 – Analisi Matematica

Una serie di integrali indefiniti di Analisi Matematica svolti  per l’ultimo anno di Scuola Superiore o per il primo anno di Università, presi dalle ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico/Classico e Istituti Tecnici e a matricole universitarie. Integrali indefiniti II003 è di difficoltà bassa, ma completo di tutti i passaggi.

Traccia di Integrali indefiniti II003

Risolvere il seguente integrale:

\( \int \frac{x-1}{x+1}\: dx;\)

Svolgimento

Integrale indefinito di f(x)=(x-1)(x+1)^-1 - Grafico della funzione - II003

Integrale indefinito di f(x)=(x-1)(x+1)^-1 – Grafico della funzione – II003

Questo integrale è abbastanza semplice, ma va risolto mediante un piccolo artifizio, come vedremo qui di seguito.

\( \int \frac{x-1}{x+1}\: dx;\)

Come primo passaggio, passiamo alla somma di integrali:

\( = \int \frac{x }{x+1}\: dx- \int \frac{ 1}{x+1}\: dx= \)

Il secondo integrale è la semplice applicazione della regoletta:

\( \int \frac{f'(x) }{f(x)}\: dx=ln(f(x))+c \)

Quindi il secondo addendo è:

\( \int \frac{ 1}{x+1}\: dx=ln(x+1)+c1 \)

Per quanto riguarda il primo integrale, è quello da risolvere mediante l’artifizio di aggiungere e togliere una stessa quantità. Nel nostro caso aggiungiamo e togliamo 1 poiché vogliamo che almeno una volta numeratore e denominatore si semplifichino tra loro:

\( \int \frac{1 }{x+1}\: dx= \int \frac{(x+1)-1 }{x+1}\: dx=\) \(= \int \frac{(x+1) }{x+1}\: dx -\int \frac{1 }{x+1}\: dx =\) \(  =\int dx-\int \frac{1 }{x+1}\: dx=\) \(  =x+c2-ln(x+1)+c3: dx=\)

Sommando tutti i termini ottenuti:

\(  =x+c2-ln(x+1)+c3 -ln(x+1)+c1 =\) \(  =x-2ln(x+1)+c\)

E questo è quanto, salvo errori o omissioni.

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