Integrali indefiniti II003 – Analisi Matematica
Integrali indefiniti II003 – Analisi Matematica
Una serie di integrali indefiniti di Analisi Matematica svolti per l’ultimo anno di Scuola Superiore o per il primo anno di Università, presi dalle ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico/Classico e Istituti Tecnici e a matricole universitarie. Integrali indefiniti II003 è di difficoltà bassa, ma completo di tutti i passaggi.
Traccia di Integrali indefiniti II003
Risolvere il seguente integrale:
\( \int \frac{x-1}{x+1}\: dx;\)
Svolgimento
Questo integrale è abbastanza semplice, ma va risolto mediante un piccolo artifizio, come vedremo qui di seguito.
\( \int \frac{x-1}{x+1}\: dx;\)Come primo passaggio, passiamo alla somma di integrali:
\( = \int \frac{x }{x+1}\: dx- \int \frac{ 1}{x+1}\: dx= \)Il secondo integrale è la semplice applicazione della regoletta:
\( \int \frac{f'(x) }{f(x)}\: dx=ln(f(x))+c \)Quindi il secondo addendo è:
\( \int \frac{ 1}{x+1}\: dx=ln(x+1)+c1 \)Per quanto riguarda il primo integrale, è quello da risolvere mediante l’artifizio di aggiungere e togliere una stessa quantità. Nel nostro caso aggiungiamo e togliamo 1 poiché vogliamo che almeno una volta numeratore e denominatore si semplifichino tra loro:
\( \int \frac{1 }{x+1}\: dx= \int \frac{(x+1)-1 }{x+1}\: dx=\) \(= \int \frac{(x+1) }{x+1}\: dx -\int \frac{1 }{x+1}\: dx =\) \( =\int dx-\int \frac{1 }{x+1}\: dx=\) \( =x+c2-ln(x+1)+c3: dx=\)Sommando tutti i termini ottenuti:
\( =x+c2-ln(x+1)+c3 -ln(x+1)+c1 =\) \( =x-2ln(x+1)+c\)E questo è quanto, salvo errori o omissioni.
Link utili:
- Integrali indefiniti (Wikipedia)