Cubo di binomio: scomposizione dei polinomi – Matematica
Cubo di binomio: scomposizione o fattorizzazione dei polinomi. Esempi ed esercizi svolti.
La scomposizione dei polinomi consiste nel trasformare la somma algebrica di monomi di cui sono composti, in prodotto di polinomi. La condizione che occorre rispettare per poter procedere nella scomposizione è che il polinomio sia ridotto a forma normale. Nel caso in cui il polinomio sia composto da quattro monomi o se è possibile rintracciare una somma algebrica di due quantità al cubo e due tripli prodotti, è bene considerare lo sviluppo del cubo di binomio.
Sviluppo del cubo di binomio – Matematica
Ricordiamo che il cubo di binomio è pari “al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo più il triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo“. Infatti si ha:
(A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3 = A3 – 3A2B+3AB2 – B3
e viceversa ovviamente:
A3+3A2B+3AB2+B3 = (A+B)3
A3 – 3A2B+3AB2 – B3 = (A-B)3
Esercizi sullo sviluppo del quadrato di binomio
Passiamo subito a svolgere degli esercizi a difficoltà crescente:
Esercizio n°1 di 10
b3 – 15b2 + 75b – 125=
=(b)3 + (-5)3 + 3 (b)2 (-5) + 3(b)(5)2 =
=(b + (-5))3 = (b – 5)3
Esercizio n°2 di 10
216a3 – 108a2t + 18at2 – t3 =
= (6a)3 + 3 (6a)2 (-t) + 3 (6a) (t)2 + (-t)3 =
= (6a + (-t))3 = (6a -t)3
Esercizio n°3 di 10
x6 + 8a3 + 6ax4 + 12a2x2=
= (x2)3 + (2a)3 + 3 (x2)2 (2a) + 3(x2) (2a)2=
= (x2 + 2a)3
Esercizio n°4 di 10
(27/64)a6 + (8/27)x6 +(9/8) a4x2 + x4=
= ((3/4)a2)3 + ((2/3)x2)3 + 3 ((3/4)a2)2((2/3)x2) + 3 (3/4)a2)((2/3)x2)2=
=((3/4)a2 + (2/3)x2)3
Esercizio n°5 di 10
(27/125)a3x- (27/25)a2x + (9/5)ax – x =
= x((27/125)a3 – 3((3/5)a)2 + 3 (3/5)a – 1) =
= x ((3/5)a – 1)3
Esercizio n°6 di 10
54xy3 – 54xy2 + 18xy – 2x =
= 2x(27y3 – 27y2 + 9y – 1) =
= 2x(3y-1)3
Esercizio n°7 di 10
(1/2)x2 – (3/8)x2y + (3/32)x – (1/128)y2=
=(1/2)(x3 – (3/4)x2y + (3/16)x – (1/64)y3)=
=(1/2)(x-(1/4)y)3
Esercizio n°8 di 10
27a4— 9a3b + a2b2– (1/27)ab3=
=a(27a3 – 9a2b + ab2– (1/27)b3)=
=a(3a-(1/3)b)3
Esercizio n°9 di 10
x3+64y3+12x2y + 48xy2=
=(x+4y)3
Esercizio n°10 di 10
27a3 – 54a2+36a – 8=
=(3a-2)3
E questo, salvo errori o sviste, è quanto.
Link per approfondire:
- Elenco metodi di scomposizioni di polinomi su RomolettoBlog
- Monomi (Wikipedia).
- Polinomi (Wikipedia).
- Fattorizzazione dei polinomi.(PDF)
