Circonferenza P104 – Problemi di Geometria Euclidea
Circonferenza P104 – Problemi risolti di Geometria Euclidea
Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P104 è un problema di difficoltà media, preso dal testo edito da Zanichelli.
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Traccia del problema sulla Circonferenza P104
Data una circonferenza di centro O si disegni un punto P esterno ad essa a distanza tale che PO sia congruente col diametro e Q sia il punto di intersezione tra il segmento PO e la circonferenza. Siano inoltre S e T i punti di tangenza alla circoferenza delle rette passanti per P. Dimostrare che il quadrilatero QSOT è un rombo con gli angoli opposti l’ uno il doppio dell’altro. (fonte: Zanichelli – Matematica)
Ipotesi:
- PO ≅ OS ≅ OP ≅ diametro
- Q punto di intersezione PO/Circonferenza → PQ ≅ QO ≅ raggio
Tesi:
- QSOT rombo → QS ≅ SO ≅ OT ≅ TP ;
- 2QSO ≅ TOS oppure 2QTO ≅ TQS
Dimostrazione:
Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro O, tracciamo il punto P, le tangenti nei punti S e T e il punto Q. In rosso si evidenzia, nella figura a sinistra, il rombo QSOT.
Uniamo P con O e consideriamo i triangoli PSO e PTO che sono rettangoli e congruenti in quanto hanno ipotenusa e un cateto congruenti:
- TO ≅ OS : raggi della stessa circonferenza;
- PO : in comune;
- Angoli in T ed S retti;
Fase 3-4: Considerando ora il triangolo isoscele TOS (ha due lati uguali: TO ≅ OS), in virtù della dimostrazione al precedente punto, si ha che POS ≅ POT. Quindi, considerando il punto H, esso rappresenta il punto medio in quanto OH è bisettrice e anche altezza (e mediana)…
In quanto altezza gli angoli formati da PO con ST sono retti; in quanto mediana TH ≅ HS.
Fase 5-6: Facciamo delle considerazioni sugli angoli ora: considerando la corda QT vale la relazione che QOT ≅ 2 QST ; considerando la corda QS l’angolo QOS ≅ QTS in quanto angoli al vertice e al centro che insistono sullo stesso arco (o corda).
Le relazioni tra gli angoli, tenendo conto anche delle dimostrazioni precedenti portano a:
- QOT ≅ 2QST
- QOS ≅ 2QTS
- POS ≅ POT → QOS ≅ QOT (cambia solo la lettera di riferimento).
- 2 QST ≅ 2QTS
da cui :
- (QOT+QOS) ≅ 2QST + 2QTS
- TOS ≅ 2QST+2QST ≅ QSO + QSO ≅ 2 QSO
quindi TOS ≅ 2 QSO
C.V.D.
Fase 7-8: Se osserviamo bene, gli angoli interni sono cosi fatti:
- TSO ≅ TSQ ≅ QTS ≅ STO;
- gli angoli con vertice in H tutti retti;
Resta da dimostrare che anche tutti i lati sono uguali, il che si può fare col secondo criterio di congruenza applicato alle coppie di triangoli QSH e SHO e QHT e HOT; dimostrata la congruenza, si ha anche che QS ≅ SO ≅ OT ≅ QT. Quindi è un rombo, perché ha tutti e quattro lati uguali.
C.V.D.
Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.
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