Circonferenza P104 – Problemi di Geometria Euclidea



Categoria dell'articolo:
Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Circonferenza P104 – Problemi risolti di Geometria Euclidea


Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P104 è un problema di difficoltà media, preso dal testo edito da Zanichelli.

Informazione

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Traccia del problema sulla Circonferenza P104

Data una circonferenza di centro O si disegni un punto P esterno ad essa a distanza tale che PO sia congruente col diametro e Q sia il punto di intersezione tra il segmento PO e la circonferenza. Siano inoltre S e T i punti di tangenza alla circoferenza delle rette passanti per P. Dimostrare che il quadrilatero QSOT è un rombo con gli angoli opposti l’ uno il doppio dell’altro. (fonte: Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

  • PO ≅ OSOP ≅ diametro
  • Q punto di intersezione PO/Circonferenza → PQ  QO ≅ raggio

Tesi:

  1. QSOT rombo → QSSOOTTP ;
  2. 2QSO ≅ TOS oppure 2QTO ≅ TQS

Dimostrazione:

Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro O, tracciamo il punto P, le tangenti nei punti S e T e il punto Q. In rosso si evidenzia, nella figura a sinistra, il rombo QSOT.

Circonferenza P104 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P104 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Uniamo P con O e consideriamo i triangoli PSO  e PTO che sono rettangoli e congruenti  in quanto hanno ipotenusa e un cateto congruenti:

  • TO ≅ OS : raggi  della stessa circonferenza;
  • PO : in comune;
  • Angoli in T ed  S retti;

Fase 3-4: Considerando ora il triangolo isoscele TOS (ha due lati uguali: TO ≅ OS), in virtù della dimostrazione al precedente punto, si ha che POS ≅ POT. Quindi, considerando il punto H, esso rappresenta il punto medio in quanto OH è bisettrice e anche altezza (e mediana)…

Circonferenza P104 -02- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P104 -02- Problemi di Geometria Euclidea

In quanto altezza gli angoli formati da PO con ST sono retti; in quanto mediana TH ≅ HS.

Fase 5-6: Facciamo delle considerazioni sugli angoli ora: considerando la corda QT vale la relazione che QOT ≅ 2 QST ; considerando la corda QS l’angolo QOS ≅ QTS in quanto angoli al vertice e al centro che insistono sullo stesso arco (o corda).

Circonferenza P104 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P104 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Le relazioni tra gli angoli, tenendo conto anche delle dimostrazioni precedenti portano a:

  • QOT ≅ 2QST
  • QOS ≅ 2QTS
  • POS ≅ POT → QOS ≅ QOT (cambia solo la lettera di riferimento).
  • 2 QST ≅ 2QTS

da cui :

  • (QOT+QOS) ≅ 2QST + 2QTS
  • TOS  ≅ 2QST+2QST ≅ QSO + QSO ≅ 2 QSO

quindi TOS  ≅  2 QSO

C.V.D.

Fase 7-8: Se osserviamo bene, gli angoli interni sono cosi fatti:

  • TSO ≅ TSQ ≅ QTS ≅ STO;
  • gli angoli con vertice in H tutti retti;
Circonferenza P104 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P104 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Resta da dimostrare che anche tutti i lati sono uguali, il che si può fare col secondo criterio di congruenza applicato alle coppie di triangoli QSH e SHO e QHT e HOT; dimostrata la congruenza, si ha anche che QS ≅ SO ≅ OT ≅ QT.  Quindi è un rombo, perché ha tutti e quattro lati uguali.

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.

Link utili:

 



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