Circonferenza P072 – Problemi risolti di Geometria Euclidea

Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P072 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso dal testo edito da Zanichelli, che sembra essere la continuazione del P071. Il procedimento risolutivo in effetti è identico.

Traccia del problema sulla Circonferenza P072

In una circonferenza di centro C le corde AB e PQ sono congruenti e si intersecano in O, interno alla circonferenza. Dimostra che CO è la bisettrice dell’angolo formato dalle due corde. (fonte: Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

• AB ≅ PQ
  
• O punto di intersezione interno, che forma i segmenti: AO, OB e PO, OP.

Tesi:

AOC ≅ COQ;

Dimostrazione:

Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro C e le corde AB e PQ. Segniamo anche il punto di intersezione O. A questo punto uniamo gli estremi delle corde con il centro C, ottenendo i triangoli isosceli ABC e PQC. Notare che AC,BC,PC,PQ sono tutti raggi della circonferenza. Segniamo anche le intersezioni D ed E. I triangoli ottenuti sono tra loro congruenti, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli in quanto:

1. AC≅PC in quanto raggi della stessa circonferenza
2. BC≅CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
3. AB≅PQ per ipotesi

Fase 3: Questo ci permette di dire che anche gli angoli sono tra loro congruenti, in particolare gli angoli ACB ≅ PCQ. Notare che alla stessa conclusione si arriva dicendo che gli angoli al vertice di corde congruenti di una stessa circonferenza sono congruenti. Quindi i seguenti angoli sono: A≅B≅P≅Q.

A questo punto, considerando gli angoli ACP e BCQ questi sono tra loro congruenti in quanto, preso l’angolo PCB si ha:

• ACP ≅ ACB – PCB   e anche:
• BCQ ≅ PCQ – PCB , da cui sottraendo membro a membro si ottiene:
• ACP – BCQ ≅ (ACB-PCQ) -PCB+PCB, ovvero:
• ACP – BCQ ≅ 0 e quindi
• ACP ≅ BCQ

Considerando i triangoli ACD e ECQ possiamo affermare che sono tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza, in quanto:

1. AC ≅ CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
2. L’angolo in A ≅ Q come dimostrato sopra.
3. L’angolo ACP ≅ BCQ come appena dimostrato.

Fase 4-5: Dalla congruenza dei triangoli ACD e ECQ possiamo affermare la congruenza degli angoli ADC ≅ CEQ. Notiamo poi che  ADC ≅ PDB e CEQ ≅ PEB in quanto angoli opposti al vertice (rispettivamente vertice D ed E). Quindi sono tutti congruenti: ADC ≅ PDB ≅ CEQ ≅ PEB. Infine gli angoli POA e BOQ sono a loro volta congruenti in quanto opposti al vertice O :  POA  ≅ BOQ. Considerando poi i lati DC e EC si ha: DC≅EC.

Fase 6: Consideriamo ora i segmenti PD e BE; possiamo scrivere senz’altro che:

• PD ≅ PC – DC
• BE ≅ BC – EC, sottraendo menbro a membro:
• PD – BE ≅ (PC – BC) – DC + EC
• PD – BE ≅ 0
• PD ≅  BE

Questo ci permette di applicare ai triangoli POD e BOE il secondo criterio di congruenza:

1. PD ≅  BE, come appena dimostrato;
2. PDB ≅ PEB come dimostrato in precedenza;
3. P ≅ B come dimostrato in precedenza.

In particolare sono congruenti i lati DO e OE.

Fase 7-8: Considerando gli angoli BDC e PEC, questi sono congruenti in quanto complementari di angoli uguali:

• CDB ≅ ADB – ADC
• PEC ≅ PEQ – CEQ;

Notare che ADC ≅ CEQ per la congruenza dei triangoli ADC e CEQ.

Considerando adesso i triangoli ODC e OCE, questi sono congruenti per il primo criterio di congruenza:

1. DO ≅ OE come appena dimostrato;
2. DC ≅ CE come dimostrato in precedenza;
3. CDB ≅ PEC

Saranno perciò congruenti tutti gli angoli e in particolare,  AOC ≅ COQ:

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.

Link utili:

• La geometria euclidea (wikipedia)
• La circonferenza (wikipedia)