Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM042-01

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM042-01 è un quesito di difficoltà  medio-bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM042-01

L’integrale definito da 1 a e di ln(x) vale:
1) 1;
2) 5;
3)-1;
4) 0.

Soluzione

Il quesito chiede di risolvere il seguente integrale definito:

\(\int_{1}^{e}ln(x) \)

Questo integrale non è un integrale semplice o notevole, bisogna risolverlo “per parti”.  La formula dell’integrazione per parti è la seguente:

\( \int f(x)\cdot g'(x)dx=\\=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x) dx \)

Nel nostro caso, la f(x) è il ln(x); ci manca la g'(x) che è in realtà 1. Quindi:

\( \int ln(x)\cdot (1)\cdot dx=ln(x)\cdot (x)-\int \frac{1}{x}\cdot (x)\cdot dx =\) \( =ln(x)\cdot (x)-\int (1)\cdot dx\)

quindi passiamo a calcolarlo come definito:

\( =ln(x)\cdot (x)-\int_{1}^{e} (1)\cdot dx=\)

Notare che l’integrale rimasto, è una quantità numerica che vale (e-1) e non deve essere ulteriormente “integrata”.

\( = [ln(x)x-(e-1) ] _{1}^{e}\textrm{}=\) \( =[ln(e)e-(e-1)-ln(1)(1) ]=  \) \( =e-e+1 =1  \)

E questo è quanto, salvo errori od omissioni.

Link utili:

• Integrali definiti (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

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