Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM004-01
Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM004-01 è un quesito di difficoltà bassa.
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Traccia del problema di Analisi Matematica – AM004-01
Fornisci la definizione di estremo inferiore di un insieme reale A e mostra un esempio di estremo inferiore che non è un minimo.
Soluzione
Possiamo subito dire che l’estremo inferiore è il più grande dei minoranti e che, se esiste, è unico. Più rigorosamente:
Dato un insieme A ⊆ R (A è un sottoinsieme dei numeri Reali). Se l’insieme A è anche limitato inferiormente da un valore α ∈ R e se accade contemporaneamente che:
- α sia un minorante di A ovvero:
∀β ∈ A sempre a ≤ β (notare che α può o meno appartenere all’insieme A); - preso un qualsiasi β > α, questo valore β non è mai minorante di A (in pratica vuol dire che α è il più grande dei minoranti di A); in altri termini:
∀ε>0 ∃ β / α ≤ β ≤ α+ε
allora α è detto estremo inferiore e lo si indica con INF(A) = α.

Analisi Matematica – Estremo inferiore – AM004-01
Per quanto riguarda un esempio: possiamo considerare l’insieme A(√2; 3). Un minorante è ad esempio proprio √2 in quanto esso rappresenta il numero più piccolo non appartenente ad A.
Note
- L’insieme A può anche essere illimitato inferiormente e allora l’ INF(A)= -∞.
- Per l’unicità dell’estremo inferiore c’è un apposito teorema il quale afferma proprio che: ∀A ⊆ R ∃! inf(A)
- L’insieme vuoto ∅ ⊆ R ammette INF(∅) = -∞.
- L’insieme A può essere aperto, chiuso, semiaperto senza restrizioni.
Definizioni da ricordare:
- Minorante: Dato un insieme A ⊆ R (A è un sottoinsieme dei numeri Reali); se, preso un valore α ∈ R si verifica che ∀β ∈ A sempre α ≤ β. Anche in questo caso non è necessario che α ∈ A.
- Insieme limitato inferiormente: un insieme è tale se ammette almeno un minorante.
E questo è quanto, salvo errori e/o omissioni.
Link utili:
- Estremo inferiore e superiore (Wikipedia)
- Minorante e maggiorante (Wikipedia)
- UniEcampus (Sito ufficiale)
Elenco AM Ecampus
Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale-
Topologia
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