Analisi Matematica – Paniere Ecampus – AM004-01

Una serie di problemi e quesiti di Analisi Matematica risolti durante le ripetizioni date a studenti del primo anno di università di varie facoltà di Ingegneria, presi dal paniere Ecampus – Ingegneria Industriale. Analisi Matematica – AM004-01 è un quesito di difficoltà bassa.

Traccia del problema di Analisi Matematica – AM004-01

Fornisci la definizione di estremo inferiore di un insieme reale A e mostra un esempio di estremo inferiore che non è un minimo.

Soluzione

Possiamo subito dire che l’estremo inferiore è il più grande dei minoranti e che, se esiste, è unico. Più rigorosamente:

Dato un insieme A ⊆ R (A è un sottoinsieme dei numeri Reali). Se l’insieme A è anche limitato inferiormente da un valore α ∈ R e se accade contemporaneamente che:

1. α sia un minorante di A ovvero:
   ∀β ∈ A sempre a ≤ β (notare che α può o meno appartenere all’insieme A);
2. preso un qualsiasi β > α,  questo valore β non è mai minorante di A (in pratica vuol dire che α è il più grande dei minoranti di A); in altri termini:
   ∀ε>0 ∃ β / α ≤ β ≤ α+ε

allora α è detto estremo inferiore e lo si indica con  INF(A) = α.

Per quanto riguarda un esempio: possiamo considerare l’insieme A(√2; 3). Un minorante è ad esempio proprio √2 in quanto esso rappresenta il numero più piccolo non appartenente ad A.

Note

1. L’insieme A può anche essere illimitato inferiormente e allora l’ INF(A)= -∞.
2. Per l’unicità dell’estremo inferiore c’è un apposito teorema il quale afferma proprio che: ∀A ⊆ R ∃! inf(A)
3. L’insieme vuoto ∅ ⊆ R ammette INF(∅) =  -∞.
4. L’insieme A può essere aperto, chiuso, semiaperto senza restrizioni.

Definizioni da ricordare:

• Minorante: Dato un insieme A ⊆ R (A è un sottoinsieme dei numeri Reali); se, preso un valore α ∈ R si verifica che ∀β ∈ A sempre α ≤ β. Anche in questo caso non è necessario che α ∈ A.
• Insieme limitato inferiormente: un insieme è tale se ammette almeno un minorante.

E questo è quanto, salvo errori e/o omissioni.

Link utili:

• Estremo inferiore e superiore (Wikipedia)
• Minorante e maggiorante (Wikipedia)
• UniEcampus (Sito ufficiale)

Elenco AM Ecampus

Analisi Matematica - 12CFU - Anno 2020-21 - Ingegneria Industriale

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