Trapezio P008 – Problemi di Geometria Euclidea
Trapezio P008 – Problemi risolti di Geometria Euclidea
Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Trapezio P008 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso presumibilmente dal testo edito da Zanichelli.
Traccia del problema sul trapezio P008
Dato un triangolo di vertici ABO, si indichino con M, N, P i punti medi di ogni lato. Dimostrare che MNAB è un trapezio e che la base maggiore di questo trapezio è il doppio della minore. (fonte: presumibilmente Zanichelli – Matematica)
Ipotesi:
- M, N, O sono punti medi rispettivamente di
- AO → AM ≅ MO
- OB → ON ≅ NB
- AB → AP ≅ PB
Tesi:
- MNAB è un trapezio
- AB ≅ 2MN (equivalentement MN ≅ AB/2)
Dimostrazione:
Fase 1-2: Disegniamo il triangolo e i punti medi, in rosso segniamo il quadrilatero da dimostrare essere un trapezio.
Trapezio P008 -01- Problemi di Geometria Euclidea
Ricordiamo che affinché un quadrilatero qualsiasi possa essere definito un trapezio due lati devono essere paralleli. Si dovrebbe anche fare qualche ipotesi sugli angoli alla base che in questo caso sono A e B acuti e ciò basta per dire che non si tratta, ad esempio, di un parallelogramma. In definitiva occorre dimostrare che MN // AB.
Fase 3: Per dimostrare il parallelismo basta dimostrare che considerando le rette contenenti MN ed AB se queste sono tagliate da una trasversale, gli angoli interni sono supplementari oppure che gli angoli alterni interni o alterni esterni sono uguali.
Trapezio P008 -02- Problemi di Geometria Euclidea
Consideriamo i triangoli MNO e ABO. Questi sono triangoli simili in quanto:
- L’angolo in O è in comune;
- OM ∝ OA (OA ≅ 2OM; è il doppio in quanto M punto medio)
- ON ∝ OB (OB ≅ 2ON; è il doppio in quanto N punto medio)
Perciò avranno gli angoli congruenti:
- ABO ≅ MNO
- BOA ≅ NOM
- OAB ≅ OMN
Fase 4: In particolare se consideriamo la retta trasversale contenente AM (o BN) che interseca le rette contenenti MN ed AB, gli angoli OAB ≅ OMN, che basta a dimostrare il parallelismo e quindi che MNAB è un trapezio.
Trapezio P008 -03- Problemi di Geometria Euclidea
Fase 5: Per dimostrare che AB ≅ 2MN (o equivalentemente MN ≅ AB/2) basta considerare i triangoli MNO e APM che sono congruenti per il secondo criterio in quanto:
- AOB ≅ AMP come dimostrato prima;
- OAB ≅ OMN come dimostrato prima;
- AM ≅ MO per ipotesi.
Trapezio P008 -04- Problemi di Geometria Euclidea
Da qui si ha che AP ≅ MN ; per ipotesi PB ≅ AP perciò: AB ≅ AP + PB ≅ AP + AP ≅ MN + MN quindi AB ≅ 2MN
C.V.D.
Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.
